4 phương pháp giải phương trình vô tỷ – Toán cấp 2

Để giải một phương trình vô tỷ thì có nhiều cách giải, tuy nhiên trong chương trình Toán THCS thì Toancap2.com chỉ nêu ra 4 phương pháp dưới đây.

Đó là các phương pháp: Đánh giá, đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương và điều kiện cần và đủ.

Chú ý: Đây là các phương pháp chung nhất để giải phương trình vô tỷ ở cấp 2. Và chúng ta áp dụng cách giải qua các ví dụ cho mỗi phương pháp.

1. Phương pháp đánh giá

Ví dụ: Giải phương trình: \(\displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}\) = 4 – 2x – x2         (*)

Giải:

Ta nhận thấy:

Vế trái:

VT = \(\displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}\)

VT = \(\displaystyle \sqrt{3{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}\) + \(\displaystyle \sqrt{5{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\ge \sqrt{4}+\sqrt{9}\) = 5

Vế phải:

VP = 4 – 2x –x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5.

Vậy phương trình (*) đã cho có nghiệm khi và chỉ khi VT = VP = 5.

⇔ x+ 1 = 0 ⇔ x = -1.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình: \(\displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=3\)

Giải:

Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 8

Đặt \(\displaystyle t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\) (với t ≥ 0)

⇒ \(\displaystyle t_{{}}^{2}=1+x+8-x+2\sqrt{(1+x)(8-x)}\)

⇒ \(\displaystyle \sqrt{(1+x)(8-x)}=\frac{t_{{}}^{2}-9}{2}\)

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

\(\displaystyle t+\frac{t_{{}}^{2}-9}{2}=3\)

⇔ \(\displaystyle t_{{}}^{2}+2t-15=0\)

⇔ \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}t=-5\\t=3\end{array} \right.\)

Loại t = -5 do < 0

Với t = 3 ta có: \(\displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\) = 3

⇔ \(\displaystyle 1+x+8-x+2\sqrt{(1+x)(8-x)}\) = 9

⇔ \(\displaystyle \sqrt{(1+x)(8-x)}\) = 0

⇔  \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=8\end{array} \right.\) (thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 8)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x= -1 và x2 = 8

*Cách khác: Các em tự giải

3. Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp biến đổi tương đương được áp dụng cho 2 dạng phương trình vô tỷ:

Dạng 1: \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x)\ge 0\\f(x)=g_{{}}^{2}(x)\end{array} \right.\)

Dạng 2: \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x)\ge 0\\f(x)=g(x)\end{array} \right.\)

4 phương pháp giải phương trình vô tỷ - Toán cấp 2-1

4 phương pháp giải phương trình vô tỷ - Toán cấp 2-2

4. Phương pháp điều kiện cần và đủ

VD1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
\(\displaystyle \sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=m\)

Giải: Điều kiện cần:

Nhận thấy nếu phương trình có nghiệm x0 thì (-1 – x0 ) cũng là nghiệm của phương trình. Do đó để phương trình có nghiệm duy nhất thì:

x0 = -1 – x0 ⇔ \(\displaystyle {{x}_{0}}=-\frac{1}{2}\)

Thay \(\displaystyle {{x}_{0}}=-\frac{1}{2}\) vào phương trình đã cho ta được: \(\displaystyle m=3\sqrt{2}\)

Điều kiện đủ:

Với \(\displaystyle m=3\sqrt{2}\) phương trình đã cho trở thành:

4 phương pháp giải phương trình vô tỷ - Toán cấp 2-3

Vậy với \(\displaystyle m=3\sqrt{2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Toán cấp 2 © 2012 Frontier Theme