Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua các ví dụ - Toán lớp 7

Bài viết này hướng dẫn cho các em cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua các ví dụ có lời giải chi tiết, dễ hiểu.

Sau mỗi ví dụ là nhận xét về hướng giải quyết một bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Ví dụ 1 : Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.

Giải.

Xét 𝛥ABD và 𝛥MCD, ta có :Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua các ví dụ - Toán lớp 7-1

\widehat{B} =\widehat{C}=90^0

AB = CM (gt)

DB = DC (D là trung điểm của BC)

=> 𝛥ABD = 𝛥MCD (2 cạnh góc vuông)

=> \widehat{D_1} =\widehat{D_3}

Mặt khác : \widehat{D_1} +\widehat{D_2}=180^0 (B, D, C thẳng hàng)

=>\widehat{D_2} +\widehat{D_3}=180^0

Hay : \widehat{ADM} =180^0

=> A, D, M thẳng hàng ( góc bẹt)

Nhận xét: Ở bài này chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng cách chứng minh cho góc tạo bởi 3 điểm đó là 180 độ.


Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC . gọi D, E lần lượt  là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh :  A là trung điểm của MN.

GIẢI.

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua các ví dụ - Toán lớp 7-2

 DB = DA (D là trung điểm của AB)

\widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đối đỉnh).

DC  = DM (gt).

=> ΔBCD = ΔBMD (c -g -c)

=>\widehat{C_1}=\widehat{M} và BC = AM.

Mà : \widehat{C_1}; \widehat{M} ở vị trí so le trong. => BC // AM.

Chứng minh tương tự,

ta được : BC // AN và BC = AN.

ta có : BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)

=> A, M. N thẳng hàng. (1)

BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).

Từ (1) và (2), suy ra : A là trung điểm của MN.

Nhận xét: Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM = AN


Ví dụ 3 :

Cho tam giác ABC vuông góc tại A có góc B  = 530.

a) Tính góc C.

b) Trên cạnh BC, lấy điểm D sao cho BD = BA. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở điểm E. cmr : ΔBEA = ΔBED.

c) Qua C, vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H. CH cắt đường thẳng AB tại F. cm : ΔBHF = ΔBHC.

d) Cmr : ΔBAC = ΔBDF và D, E, F thẳng hàng.

Giải.

a. Tính góc C :

Xét ΔBAC, ta có :

\widehat{A} +\widehat{B} +\widehat{C} =180^0

=> \widehat{C} =180^0-(\widehat{A} +\widehat{B})

=>  \widehat{C} =180^0-(90^0+53^0)=37^0

b. ΔBEA = ΔBED :Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua các ví dụ - Toán lớp 7-3

Xét ΔBEA và ΔBED, ta có :

BE cạnh chung.

\widehat{ABE} =\widehat{DBE} (BE là tia phân giác của góc B)

BD = BA (gt)

=> ΔBEA = ΔBED (c – g – c)

c. ΔBHF = ΔBHC

Xét ΔBHF và ΔBHC, ta có :

BH cạnh chung.

\widehat{ABH} =\widehat{DBH} (BE là tia phân giác của góc B)

\widehat{BHF} =\widehat{BHC}=90^0  (gt)

=> ΔBHF = ΔBHC (cạnh huyền – góc nhọn)

=> BF = BC (cạnh tương ứng)

d. ΔBAC = ΔBDF và D, E, F thẳng hàng

xét ΔBAC và ΔBDF, ta có:

BC = BF (cmt)

Góc B chung.

BA = BC (gt)

=> ΔBAC = ΔBDF

=> \widehat{BAC} =\widehat{BDF}

Mà : \widehat{BAC} =90^0 (gt)

Nên : \widehat{BDF} =90^0 hay BD \bot DF (1)

Mặt khác : \widehat{BAE} =\widehat{BDF}  (hai góc tương ứng của  ΔBEA = ΔBED)

Mà : \widehat{BAE} =90^0 (gt)

Nên : \widehat{BDE} =90^0 hay BD \bot DE (2)

Từ (1) và (2), suy ra : DE trùng DF

Hay : D, E, F thẳng hàng.


Bài tập tự giải:

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AB = FA. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AC = AE.

a) Chứng minh: Δ EAF = Δ CAB

b)Gọi K là trung điểm EF và D là trung điểm BC. Chứng minh : KB = FD.

d) Chứng minh: K, A, D thẳng hàng.

Ví dụ 2 :Cho Δ ABC có M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC.

a) Chứng minh Δ MAD = Δ MBC và AD // CB.

b) Lấy N thuộc AD; NM cắt BC tại P. Chứng minh AN = BP.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm D, vẽ tia AE sao cho góc EAB + góc ABC = 180^0 . Chứng tỏ D, A, E thẳng hàng.

Toán cấp 2 © 2012 Toán học