Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng

Để chứng minh 2 tam giác đồng dạng thì các em cần phải nắm được lý thuyết hai tam giác đồng dạng và các cách chứng minh mà Toancap2.com đưa ra dưới đây.

Nhắc lại một ít lý thuyết về tam giác đồng dạng.
Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-1

Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường :

- Trường hợp đồng dạng 1 : 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (c – c – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF} =\frac{BC}{EF}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

- Trường hợp đồng dạng 2 : 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau(c – g – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF}

\widehat{A}=\widehat{D}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

- Trường hợp đồng dạng 3 : hai góc tương ứng bằng nhau(g – g)

xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :

\widehat{A}=\widehat{D}

\widehat{B}=\widehat{E}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

II. Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông

1. Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
3. Định lí 3: ( góc)
Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :


Bài toán 1 :

cho ∆ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho \widehat{BCx}=\widehat{BAD} . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) \frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c) AD2 = AB.ACBD.DC

Giải

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-1a)∆ADB và ∆CDI , ta có :

\widehat{BCx}=\widehat{BAD} (gt)

\widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , ta có :

\widehat{B}=\widehat{I} (∆ADB ~ ∆CDI)

\widehat{A_1}=\widehat{A_2} (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=>\frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : \frac{AD}{CD} =\frac{BD}{DI} (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.ACBD.CD = AD.AIAD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2


Bài toán 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . Chứng minh các hệ thức :

a. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC

b. AB2 +AC2 = BC2

c. AH2 = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC

Giải.

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-2Xét hai ∆ABC và ∆ HAC, ta có :1. AC2 = CH.BC :

\widehat{BAC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{C} là góc chung.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> \frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

2. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), ta có :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

3.AH2 = BH.CH :

Xét hai ∆HBA và ∆ HAC, ta có :

\widehat{BHC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{ABH} =\widehat{ HAC} cùng phụ \widehat{BAH}

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

=> \frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}

=> AH2 = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta có : \frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC} (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.


Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet + hai đường thẳng song song:

Bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

Giải

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-3a) xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :

BD \bot AC (BD là đường cao)

EG \bot AC (EG là đường cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => \frac{AB}{AE} =\frac{AD}{AG}

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmt)

\frac{AB}{AF} =\frac{AC}{AG}

=> FG // BC (định lí đảo talet)


Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán:

Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.

Giải

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng-5a)xét ∆HBE và ∆HCD, ta có :

\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0 (gt)

\widehat{H_1}=\widehat{H_2} (đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, ta có :

\frac{HE}{HD} =\frac{HB}{HC} (∆HBE ~ ∆HCD)

=>\frac{HE}{HB} =\frac{HD}{HC}

\widehat{EHD}=\widehat{CHB} (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> \widehat{D_1}=\widehat{C_1} (1)

mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH \bot BC tại M.

=>\widehat{A_1}+\widehat{ABC}=90^0

mặt khác : \widehat{C_1}+\widehat{ABC}=90^0

=>\widehat{A_1}=\widehat{C_1} (2)

từ (1) và (2) : \widehat{A_1}=\widehat{D_1}

hay : \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cmtt câu b, ta được : \widehat{A_2}=\widehat{E_2} (3)

xét ∆BCD, ta có :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân tại D

=>\widehat{B_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{B_1}=\widehat{E_1} (∆HED ~ ∆HBC)

=> \widehat{E_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{A_2}+\widehat{ACB}=90^0

\widehat{A_2}=\widehat{E_2} (cmt)

=>\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=90^0

hay : \widehat{DEM}=90^0

=> ED \bot EM.

Toán cấp 2 © 2012 Toancap2.com