Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm

Bằng phương pháp làm trội, làm giảm chúng ta có thể chứng minh được một số dạng bài tập bất đẳng thức. Các em xem ví dụ dưới đây để rõ về phương pháp này.

Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: \(\displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\)

Giải

Ta có : \(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}\) ; \(\displaystyle \frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{b+c}\)  ; \(\displaystyle \frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}\)

Suy ra: \(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

⇔ \(\displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

Ta lại có: \(\displaystyle \frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}\) (điều này dễ chứng minh được)

Tương tự:

\(\displaystyle \frac{b}{b+c}<\frac{a+b}{a+b+c}\) ;

\(\displaystyle \frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}\)

Suy ra: \(\displaystyle \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{2\left( a+b+c \right)}{a+b+c}\) = 2

⇔ \(\displaystyle \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\)

Vậy: \(\displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì:

\(\displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1\)

Giải

Ta có : \(\displaystyle \frac{1}{{{k}^{2}}}=\frac{1}{k.k}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)

Nên:

\(\displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\) ;

\(\displaystyle \frac{1}{{{3}^{2}}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

……..

\(\displaystyle \frac{1}{{{n}^{2}}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

Suy ra: \(\displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1-\frac{1}{n}\) <1

Vậy: \(\displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1\)

Toán cấp 2 © 2012 Frontier Theme