Chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức luôn đúng

Trong bài viết này Toancap2.com giới thiệu với các em học sinh lớp 8 cách chứng minh bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức luôn đúng.

Các bất đẳng thức luôn đúng áp dụng ở đây là:

(x)2  ≥ 0 với mọi x thuộc R.
-(x)2  ≤ 0 với mọi x thuộc R.

Ngoài ra các em phải ghi nhớ thêm 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.

Bây giờ đi vào giải các bài toán cho dễ hiểu:

Bài toán 1:  Chứng minh bất đẳng thức

a2/4+ b2 ≥ ab

Giải.

Xét :VT – VP = a2/4+ b2 – ab = (a/2)2 – 2ba/2 + b2 = (a – b) 2

Ta luôn có : (a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R

Suy ra : VT – VP ≥ 0

Vậy : a2/4+ b2 ≥ ab


Bài toán 2: Chứng minh bất đẳng thức

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac với mọi a, b,c thuộc R

Giải.

Xét :VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac

2(VT – VP) = 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

          = (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2)

= (a – b)2 + (a – c)+ (b – c)2

Ta luôn có : (a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R

(a – c)2 ≥ 0 với mọi a,c thuộc R

(b – c)2 ≥ 0 với mọi b,c thuộc R

Suy ra : (a – b)2 + (a – c)+ (b – c)2 ≥ 0  với mọi a, b,c thuộc R

Hay : VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac ≥ 0  với mọi a, b,c thuộc R

Vậy : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac


Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức

a4 + b4  ≥  a3b + ab3

Giải.

Xét :VT – VP = a4 + b4  –  a3b – ab3

= (a4   –  a3b) + (b4– ab3)

= a3(a – b) – b3(a – b)

= (a – b) (a3– b3)

= (a – b) 2 (a2+ ab + b2) = (a – b) 2 [(a+b/2)2 + 3b2/4)]

Ta luôn có : (a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R

(a+b/2)2 + 3b2/4) ≥ 0 với mọi a,b thuộc R

Suy ra : VT – VP ≥ 0

Vậy : a4 + b4  ≥  a3b + ab3

Toán cấp 2 © 2012 Toancap2.com