Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10

Tóm tắt Lý thuyết Căn bậc hai

Định nghĩa:
Căn bậc hai số học của a là số dương x sao cho x2 = a. Ta viết:

\(\displaystyle x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x_{{}}^{2}=a\end{array} \right.\)

Hằng đẳng thức: \(\displaystyle \sqrt{A_{{}}^{2}}=\left| A \right|\)

Phép toán: A ≥ 0; B ≥ 0

\(\displaystyle \sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\) (A ≥ 0; B ≥ 0)

\(\displaystyle \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\) (A ≥ 0; B > 0)

Phép biến đổi: \(\displaystyle \sqrt{A_{{}}^{2}.B}=\left| A \right|\sqrt{B}\)

Phép trục căn ở mẫu: (A ≥ 0; B > 0)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\frac{\sqrt{A.B}}{\left| B \right|}\)  ;

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{B}\pm C}=\frac{\sqrt{B}\pm C}{\left| B \right|-C_{{}}^{2}}\)   ;

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}=\frac{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}{\left| B \right|-\left| C \right|}\)

Căn bậc ba:

1. Khái niệm căn bậc ba:

  • Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
  • Với mọi a thì \({{(\sqrt[3]{a})}^{3}}=\sqrt[3]{{{a}^{3}}}=a\)

2. Tính chất

  • Với a < b thì \(\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}\)
  • Với mọi a, b thì \(\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}\)
  • Với mọi a và b ≠ 0 thì \(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\)

Căn bậc n: (Kiến thức dành cho học sinh khá giỏi, thi vào lớp chuyên Toán)

1. Căn bậc n (2 ≤ n ∈ N) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a

2. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)

  • Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
  • Căn bậc lẻ của số dương là số dương
  • Căn bậc lẻ của số âm là số âm
  • Căn bậc lẻ của số 0 là số 0

3. Căn bậc chẵn (n = 2k )

  • Số âm không có căn bậc chẵn
  • Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
  • Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là \(\sqrt[2k]{a}\) và \(-\sqrt[2k]{a}\)

4. Các phép biến đổi căn thức:

  • \(\displaystyle \sqrt[2k+1]{A}\) xác định với ∀ A
    \(\sqrt[2k]{A}\) xác định với ∀ A ≥ 0
  • \(\sqrt[2k+1]{{{A}^{2k+1}}}=A\) với ∀ A
    \(\sqrt[2k]{{{A}^{2k}}}=\left| A \right|\) với ∀ A
  • \(\sqrt[2k+1]{A.B}=\sqrt[2k+1]{A}.\sqrt[2k+1]{B}\) với ∀ A, B
    \(\sqrt[2k]{A.B}=\sqrt[2k]{\left| A \right|}.\sqrt[2k]{\left| B \right|}\) với ∀ A, B mà A.B ≥ 0
  • \(\sqrt[2k+1]{{{A}^{2k+1}}.B}=A.\sqrt[2k+1]{B}\) với ∀ A, B
    \(\sqrt[2k]{{{A}^{2k}}.B}=\left| A \right|.\sqrt[2k]{B}\) với ∀ A, B mà B ≥ 0
  • \(\sqrt[2k+1]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[2k+1]{A}}{\sqrt[2k+1]{B}}\) với ∀ A, B mà B ≠ 0
    \(\sqrt[2k]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[2k]{\left| A \right|}}{\sqrt[2k]{\left| B \right|}}\) với ∀ A, B mà B ≠ 0, A.B ≥ 0
  • \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}=\sqrt[mn]{A}\) với ∀ A, mà A ≥ 0
  • \(\sqrt[m]{{{A}^{n}}}={{A}^{\frac{m}{n}}}\) với ∀ A, mà A ≥ 0

Giải bài tập mẫu căn bậc hai

1. Dạng tính căn bậc hai số học

Bài: Tính

\(\displaystyle A=3\sqrt{75}+\sqrt{192}-5\sqrt{108}-\frac{2}{3}\sqrt{243}\)

= \(\displaystyle 3\sqrt{25.3}+\sqrt{64.3}-5\sqrt{36.3}-\frac{2}{3}\sqrt{81.3}\)

= \(\displaystyle 3\sqrt{5_{{}}^{2}.3}+\sqrt{8_{{}}^{2}.3}-5\sqrt{6_{{}}^{2}.3}-\frac{2}{3}\sqrt{9_{{}}^{2}.3}\)

= \(\displaystyle 15\sqrt{3}+8\sqrt{3}-5.6\sqrt{3}-\frac{2}{3}.9\sqrt{3}\)

= \(\displaystyle -13\sqrt{3}\)

Nhận xét:  Phân tích và áp dụng Phép biến đổi \(\displaystyle \sqrt{A_{{}}^{2}.B}=\left| A \right|\sqrt{B}\)

Bài tập rèn luyện

\(\displaystyle B=6\sqrt{80}+5\sqrt{45}+4\sqrt{1.25}-5\sqrt{\frac{1}{5}}\)  ;

\(\displaystyle C=\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{28}-20\sqrt{0.07}+\frac{1}{5}\sqrt{175}\)

2. Dạng trục căn ở mẫu

Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10-1

Nhận xét:

– Ta trục căn từng phân thức sau đó ghép lại.
– Trước khi trục căn ở mẫu, ta rút gọn phân thức.

Bài tập rèn luyện

Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10-2

3. Dạng căn kép (căn chứa căn)

Phương pháp giải:

– Áp dụng công thức:  (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2

Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10-3

3. Dạng rút gọn căn thức

Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10-4

Bài tập rèn luyện

\(\displaystyle A=\left( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{a-1} \right):\frac{a\sqrt{a}-1}{a\sqrt{a}-2a+\sqrt{a}}\) (a > 0 và a ≠ 1)

4. Dạng phương trình căn

Phương pháp giải:

Định nghĩa:

\(\displaystyle x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x_{{}}^{2}=a\end{array} \right.\) ;

Công thức:

\(\displaystyle \sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A=B_{{}}^{2}\end{array} \right.\)  ;

\(\displaystyle \sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0;B\ge 0\\A=B\end{array} \right.\)

Giải bài tập mẫu:

Bài:  Tìm x. biết:
Ta có : 5 ≥ 0, nên : x – 3 = 5
2 = 25
<=> x = 25 + 3
<=> x = 28
Vậy : x = 28

Bài tập rèn luyện

a) \(\displaystyle \sqrt{36x}-\sqrt{25x}=2\)

b) \(\displaystyle \sqrt{x_{{}}^{2}+6x+9}+1-2x=0\)

c) \(\displaystyle \sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7+6\sqrt{x-2}}=8\)

Toán cấp 2 © 2012 Frontier Theme