Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10

Bài số 1 trong 11 bài thuộc Ôn thi vào lớp 10 môn Toán theo chuyên đề

Tóm tắt Lý thuyết Căn bậc hai

Định nghĩa:
Căn bậc hai số học của a là số dương x sao cho x2 = a. Ta viết:

\displaystyle x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x_{{}}^{2}=a\end{array} \right.

Hằng đẳng thức: \displaystyle \sqrt{A_{{}}^{2}}=\left| A \right|

Phép toán: A ≥ 0; B ≥ 0

\displaystyle \sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B} (A ≥ 0; B ≥ 0)

\displaystyle \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} (A ≥ 0; B > 0)

Phép biến đổi: \displaystyle \sqrt{A_{{}}^{2}.B}=\left| A \right|\sqrt{B}

Phép trục căn ở mẫu: (A ≥ 0; B > 0)

\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\frac{\sqrt{A.B}}{\left| B \right|}  ;

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{B}\pm C}=\frac{\sqrt{B}\pm C}{\left| B \right|-C_{{}}^{2}}   ;

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}=\frac{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}{\left| B \right|-\left| C \right|}

Căn bậc ba:

1. Khái niệm căn bậc ba:

  • Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
  • Với mọi a thì {{(\sqrt[3]{a})}^{3}}=\sqrt[3]{{{a}^{3}}}=a

2. Tính chất

  • Với a < b thì \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}
  • Với mọi a, b thì \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}
  • Với mọi a và b ≠ 0 thì \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}

Căn bậc n: (Kiến thức dành cho học sinh khá giỏi, thi vào lớp chuyên Toán)

1. Căn bậc n (2 ≤ n ∈ N) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a

2. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)

  • Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
  • Căn bậc lẻ của số dương là số dương
  • Căn bậc lẻ của số âm là số âm
  • Căn bậc lẻ của số 0 là số 0

3. Căn bậc chẵn (n = 2k )

  • Số âm không có căn bậc chẵn
  • Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
  • Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là \sqrt[2k]{a} và -\sqrt[2k]{a}

4. Các phép biến đổi căn thức:

  • \displaystyle \sqrt[2k+1]{A} xác định với ∀ A
    \sqrt[2k]{A} xác định với ∀ A ≥ 0
  • \sqrt[2k+1]{{{A}^{2k+1}}}=A với ∀ A
    \sqrt[2k]{{{A}^{2k}}}=\left| A \right| với ∀ A
  • \sqrt[2k+1]{A.B}=\sqrt[2k+1]{A}.\sqrt[2k+1]{B} với ∀ A, B
    \sqrt[2k]{A.B}=\sqrt[2k]{\left| A \right|}.\sqrt[2k]{\left| B \right|} với ∀ A, B mà A.B ≥ 0
  • \sqrt[2k+1]{{{A}^{2k+1}}.B}=A.\sqrt[2k+1]{B} với ∀ A, B
    \sqrt[2k]{{{A}^{2k}}.B}=\left| A \right|.\sqrt[2k]{B} với ∀ A, B mà B ≥ 0
  • \sqrt[2k+1]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[2k+1]{A}}{\sqrt[2k+1]{B}} với ∀ A, B mà B ≠ 0
    \sqrt[2k]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[2k]{\left| A \right|}}{\sqrt[2k]{\left| B \right|}} với ∀ A, B mà B ≠ 0, A.B ≥ 0
  • \sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}=\sqrt[mn]{A} với ∀ A, mà A ≥ 0
  • \sqrt[m]{{{A}^{n}}}={{A}^{\frac{m}{n}}} với ∀ A, mà A ≥ 0

Giải bài tập mẫu căn bậc hai

1. Dạng tính căn bậc hai số học

Bài: Tính

\displaystyle A=3\sqrt{75}+\sqrt{192}-5\sqrt{108}-\frac{2}{3}\sqrt{243}

\displaystyle 3\sqrt{25.3}+\sqrt{64.3}-5\sqrt{36.3}-\frac{2}{3}\sqrt{81.3}

\displaystyle 3\sqrt{5_{{}}^{2}.3}+\sqrt{8_{{}}^{2}.3}-5\sqrt{6_{{}}^{2}.3}-\frac{2}{3}\sqrt{9_{{}}^{2}.3}

\displaystyle 15\sqrt{3}+8\sqrt{3}-5.6\sqrt{3}-\frac{2}{3}.9\sqrt{3}

\displaystyle -13\sqrt{3}

Nhận xét:  Phân tích và áp dụng Phép biến đổi \displaystyle \sqrt{A_{{}}^{2}.B}=\left| A \right|\sqrt{B}

Bài tập rèn luyện

\displaystyle B=6\sqrt{80}+5\sqrt{45}+4\sqrt{1.25}-5\sqrt{\frac{1}{5}}  ;

\displaystyle C=\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{28}-20\sqrt{0.07}+\frac{1}{5}\sqrt{175}

2. Dạng trục căn ở mẫu

Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10-1

Nhận xét:

- Ta trục căn từng phân thức sau đó ghép lại.
- Trước khi trục căn ở mẫu, ta rút gọn phân thức.

Bài tập rèn luyện

Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10-2

3. Dạng căn kép (căn chứa căn)

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức:  (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2

Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10-3

3. Dạng rút gọn căn thức

Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10-4

Bài tập rèn luyện

\displaystyle A=\left( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{a-1} \right):\frac{a\sqrt{a}-1}{a\sqrt{a}-2a+\sqrt{a}} (a > 0 và a ≠ 1)

4. Dạng phương trình căn

Phương pháp giải:

Định nghĩa:

\displaystyle x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x_{{}}^{2}=a\end{array} \right. ;

Công thức:

\displaystyle \sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A=B_{{}}^{2}\end{array} \right.  ;

\displaystyle \sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0;B\ge 0\\A=B\end{array} \right.

Giải bài tập mẫu:

Bài:  Tìm x. biết:
Ta có : 5 ≥ 0, nên : x – 3 = 5
2 = 25
<=> x = 25 + 3
<=> x = 28
Vậy : x = 28

Bài tập rèn luyện

a) \displaystyle \sqrt{36x}-\sqrt{25x}=2

b) \displaystyle \sqrt{x_{{}}^{2}+6x+9}+1-2x=0

c) \displaystyle \sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7+6\sqrt{x-2}}=8

Bài viết liên quan:Chuyên đề hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b ôn thi vào lớp 10 >>

Toán cấp 2 © 2012 Toán học