Chuyên đề: Phương trình bậc hai chứa tham số

Về các bài toán phương trình bậc hai chứa tham số, chúng ta thường phải sử dụng hệ thức Vi-ét để giải.

Bằng việc áp dụng định lý Vi-et, các em sẽ dễ dàng giải các bài tập dạng PT bậc 2 chứa tham số.

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai: \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( * \right)\text{ }\text{,}\left( a\ne 0 \right),\text{ }\Delta ={{b}^{2}}-4ac\) .

Gọi \(\displaystyle S\), \(\displaystyle P\) lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm \(\displaystyle {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\). Hệ thức Viét: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\\P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\end{array} \right.\) .

  • Điều kiện PT (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ \(\displaystyle P<0\).
  • Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P>0\end{array} \right.\).
  • Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\S>0\\P>0\end{array} \right.\).
  • Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt âm ⇔ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\S<0\\P>0\end{array} \right.\).

2. Các hệ thức thường gặp:

+ \(\displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{S}^{2}}-2P\)

+ \(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}\)

+ \(\displaystyle {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}\)

+ \(\displaystyle {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\pm \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}\)

+ \(\displaystyle {{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=S.\left( {{S}^{2}}-3P \right)\)

+ \(\displaystyle {{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}^{2}.{{x}_{2}}^{2}={{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}\)

\(\displaystyle ={{\left( {{S}^{2}}-2P \right)}^{2}}-2{{P}^{2}}\)

+ \(\displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{S}{P}\)

+ \(\displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}-\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}\)

+ \(\displaystyle \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}-\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}\)

+ \(\displaystyle {{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]\)

\(\displaystyle =\left( \pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=\pm \left( \sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)\left[ {{S}^{2}}-P \right]\)

+ \(\displaystyle {{x}_{1}}^{4}-{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}-{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}=\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2} \right)=\pm \left( {{S}^{2}}-2P \right)\left( S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)\)

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: Cho phương trình \(\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+1=0\). Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0).

Lời giải

  • Xét \(2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}\) phương trình trở thành \(-x+1=0\Rightarrow x=1\notin \left( -1;0 \right)\)
  • Xét \(2m-1\ne 0\Rightarrow m\ne \frac{1}{2}\) khi đó ta có:

\(\Delta ‘={{m}^{2}}-\left( 2m-1 \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0\) mọi m.

Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m.

Ta thấy nghiệm \(x=1\) không thuộc khoảng \(\left( -1;0 \right)\)

Với \(m\ne \frac{1}{2}\) phương trình còn có nghiệm là \(x=\frac{m-m+1}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}\)

Phương trình có nghiệm trong khoảng \(\left( -1;0 \right)\) suy ra

\(-1\le \frac{1}{2m-1}\le 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2m-1}+1>0\\2m-1<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2m}{2m-1}>0\\2m-1<0\end{array} \right.\Rightarrow m<0\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng \(\left( -1;0 \right)\) khi và chỉ khi \(m<0\).

Câu 2: Cho phương trình \(\displaystyle {{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\) (\(\displaystyle x\) là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định \(\displaystyle m\) để hai nghiệm \(\displaystyle {{x}_{1}}\), \(\displaystyle {{x}_{2}}\) của phương trình đã cho thỏa mãn: \({{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\).

Lời giải

a) \(\Delta ={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=5-4m\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}\)

b) Phương trình có hai nghiệm \(\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1\end{array} \right.\)

Theo đề bài:

\(\begin{array}{l}{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\\\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\\\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\\\Leftrightarrow {{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m\end{array}\)

Ta có hệ phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\\{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{m+1}{2}\\{{x}_{2}}=\frac{3(m-1)}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{m+1}{2}\cdot \frac{3(m-1)}{2}={{m}^{2}}-1\\\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=4\left( {{m}^{2}}-1 \right)\\\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0\\\Leftrightarrow m=\pm 1\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(\Rightarrow m=\pm 1\) là các giá trị cần tìm

Câu 3: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}+5x+3m-1=0\) (\(\displaystyle x\) là ẩn số, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \(\displaystyle {{x}_{1}}\), \(\displaystyle {{x}_{2}}\) thỏa mãn \(x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75\).

Lời giải

\(\displaystyle \Delta ={{5}^{2}}-4.1.\left( 3m-1 \right)=29-12m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\displaystyle \Rightarrow \Delta \ge 0\Rightarrow m\le \frac{29}{12}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1\end{array} \right.\)

Ta có: \(x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75\)

⇔ \(\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75\)

⇒ \(\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 25-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75\)

⇔ \(25\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)-\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right){{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75\)

⇒ \({{x}_{1}}-{{x}_{2}}=3\)

Kết hợp \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5\) suy ra \({{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-4\). Thay vào \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1\) suy ra \(m=\frac{5}{3}\)

Vậy \(m=\frac{5}{3}\) là giá trị cần tìm.

Câu 4: Cho phương trình \({{x}^{2}}-10mx+9m=0\) (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với \(m=1\).

b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm \(\displaystyle {{x}_{1}}\), \(\displaystyle {{x}_{2}}\) thỏa điều kiện \({{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0\).

Lời giải

a) Với \(m=1\) phương trình đã cho trở thành \({{x}^{2}}-10x+9=0\)

Ta có \(a+b+c=0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=9\end{array} \right.\)

b) \(\Delta ‘={{\left( -5m \right)}^{2}}-1.9m=25{{m}^{2}}-9m\)

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \(\Delta ‘>0\Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-9m>0\) (*)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10m\\{{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{{x}_{2}}=10m\\{{x}_{1}}=9{{x}_{2}}\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{2}}=m\\{{x}_{1}}=9m\\9{{m}^{2}}-9m=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{2}}=m\\{{x}_{1}}=9m\\\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=1\end{array} \right.\end{array} \right.,(*)\Rightarrow m=1\)

Toán cấp 2 © 2012 Frontier Theme