Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn số

Bài số 4 trong 10 bài thuộc Ôn thi vào lớp 10 môn Toán theo chuyên đề

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I.Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax2 + bx +c = 0 

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0

II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 - 4ac

*) Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}

*) Nếu Δ = 0 phương trình có nghiệm kép: \displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}

*) Nếu Δ < 0 phương trình vô nghiệm.

III. Công thức nghiệm thu gọn

Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b'

Δ' = b'2 - ac

*) Nếu Δ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn số-1

*) Nếu Δ' = 0 phương trình có nghiệm kép: \displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b'}{a}

*) Nếu Δ' < 0 phương trình vô nghiệm.

IV. Hệ thức Viet và ứng dụng

  1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) thì: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\end{array} \right.
  1. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x2 - Sx + P = 0 (Điều kiện để có u và v là S2 - 4P ≥ 0)
  1. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: \displaystyle {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{c}{a}

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: \displaystyle {{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{c}{a}

V. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:

  1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0
  2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
  3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0
  4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0
  5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
  6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
  7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0
  8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0
  9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
  10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
  11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
  12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0

B. Một số bài tập có lời giải

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) 2x-8 = 0

b) 3x- 5x = 0

c) -2x2 + 3x + 5 = 0

d) \displaystyle {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0

e) \displaystyle {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0

f) \displaystyle \frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}

Giải

a) \displaystyle 2{{x}^{2}}-8=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2

Vậy phương trình có nghiệm \displaystyle x=\pm 2

b) \displaystyle 3{{x}^{2}}-5x=0\Leftrightarrow x(3x-5)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\3x-5=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\frac{5}{3}\end{array} \right.

Vậy phương trình có nghiệm \displaystyle x=0;x=\frac{5}{3}

c) \displaystyle -2{{x}^{2}}+3x+5=0

\displaystyle 2{{x}^{2}}-3x-5=0

Nhẩm nghiệm :

Ta có : a - b + c =  2 + 3 - 5 = 0 => phương trình có nghiệm: \displaystyle {{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}

d) \displaystyle {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0

\displaystyle ({{x}^{3}}+3{{x}^{2}})-(2x+6)=0

⇔ \displaystyle {{x}^{2}}(x+3)-2(x+3)=0

⇔ \displaystyle (x+3)({{x}^{2}}-2)=0

⇔ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+3=0\\{{x}^{2}}-2=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-3\\{{x}^{2}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-3\\x=\pm \sqrt{2}\end{array} \right.

e) \displaystyle {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0

Đặt \displaystyle t={{x}^{2}}(t\ge 0) . Ta có phương trình: \displaystyle {{t}^{2}}+3t-4=0

a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0

=> phương trình có nghiệm: \displaystyle {{t}_{1}}=1>0 (thỏa mãn); \displaystyle {{t}_{2}}=-\frac{4}{1}=-4<0 (loại)

Với: \displaystyle t=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1

Vậy phương trình có nghiệm \displaystyle x=\pm 1

f) \displaystyle \frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}

TXĐ: x ≠ 2, x ≠ 5

⇔ \displaystyle \frac{(x+2)(2-x)}{(x-5)(2-x)}+\frac{3(x-5)(2-x)}{(x-5)(2-x)}=\frac{6(x-5)}{(x-5)(2-x)}

⇒ \displaystyle (x+2)(2-x)+3(x-5)(2-x)=6(x-5)

⇔ \displaystyle 4-{{x}^{2}}+6x-3{{x}^{2}}-30+15x=6x-30

\displaystyle -4{{x}^{2}}+15x+4=0

\displaystyle \Delta ={{15}^{2}}-4.(-4).4=225+64=289>0;\sqrt{\Delta }=17

=> phương trình có hai nghiệm:

\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-15+17}{2.(-4)}=-\frac{1}{4} (thỏa mãn ĐKXĐ)

\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-15-17}{2.(-4)}=4 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : \displaystyle {{x}^{2}}+mx+m+3=0   (1)

a/ Giải phương trình với m = - 2.

b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tính \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2};x_{1}^{3}+x_{2}^{3} theo m.

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9 .

d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.

e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.

f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta có phương trình:

\displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x+1=0\\\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}=0\\\Leftrightarrow x-1=0\\\Leftrightarrow x=1\end{array}

Vậy với m = - 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b/ Phương trình: \displaystyle {{x}^{2}}+mx+m+3=0   (1)

Ta có: \displaystyle \Delta ={{m}^{2}}-4(m+3)={{m}^{2}}-4m-12

Phương trình có nghiệm \displaystyle {{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:

*) \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{(-m)}^{2}}-2(m+3)={{m}^{2}}-2m-6

*) \displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})={{(-m)}^{3}}-3(m+3)(-m)=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+9m

c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \displaystyle {{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0

Khi đó \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{m}^{2}}-2m-6

Do đó \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-6=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-15=0

Δ'(m) = (-1)2 - 1.(-15) = 1 + 15 = 16 > 0

=> phương trình có hai nghiệm: \displaystyle {{m}_{1}}=\frac{1+4}{1}=5;{{m}_{2}}=\frac{1-4}{1}=-3

Thử lại :

+) Với \displaystyle m=5\Rightarrow \Delta =-7<0  => loại.

+) Với \displaystyle m=-3\Rightarrow \Delta =9>0  => thỏa mãn.

Vậy với m = - 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9

d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \displaystyle {{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: 

Hệ thức: 2x1 + 3x2 = 5        (c)

Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\\2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=-3m\\2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-3m-5\\{{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-3m-5\\{{x}_{2}}=2m+5\end{array} \right.

Thay \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-3m-5\\{{x}_{2}}=2m+5\end{array} \right. vào (b) ta có phương trình :

\displaystyle (-3m-5)(2m+5)=m+3 \displaystyle \Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-15m-10m-25=m+3 \displaystyle \Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-26m-28=0 \displaystyle \Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+13m+14=0 \displaystyle {{\Delta }_{(m)}}={{13}^{2}}-4.3.14=1>0

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: \displaystyle {{m}_{1}}=\frac{-13+1}{2.3}=-2\displaystyle {{m}_{2}}=\frac{-13-1}{2.3}=-\frac{7}{3}

Thử lại :

+) Với \displaystyle m=-2\Rightarrow \Delta =0  => thỏa mãn.

+) Với \displaystyle m=\frac{-7}{3}\Rightarrow \Delta =\frac{25}{9}>0 => thỏa mãn.

Vậy với \displaystyle m=-2;m=-\frac{7}{3} phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.

e/ Phương trình (1) có nghiệm \displaystyle {{x}_{1}}=-3

⇔ \displaystyle {{(-3)}^{2}}+m.(-3)+m+3=0\Leftrightarrow -2m+12=0\Leftrightarrow m=6

Khi đó: \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6-(-3)\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-3

Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.

f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  \displaystyle \Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow 1.(m+3)<0\Leftrightarrow m+3<0\Leftrightarrow m<-3

Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m=-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}\\m={{x}_{1}}{{x}_{2}}-3\end{array} \right.\Leftrightarrow -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{x}_{1}}{{x}_{2}}-3

Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; xkhông phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – 3 = 0

Bài 3:  Cho phương trình  (m-1)x2 + 2x - 3 = 0   (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ \displaystyle x=\frac{3}{2} (là nghiệm)

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ=12- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm ⇔ Δ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ \displaystyle m\ge \frac{2}{3}

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với \displaystyle m\ge \frac{2}{3} thì phương trình có nghiệm

b)

+ Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ \displaystyle x=\frac{3}{2} (là nghiệm)

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm duy nhất ⇔ Δ = 3m-2 = 0 ⇔ \displaystyle m=\frac{2}{3} (thoả mãn m ≠ 1)

Khi đó \displaystyle x=-\frac{1}{m-1}=-\frac{1}{\frac{2}{3}-1}=3

+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất \displaystyle x=\frac{3}{2}

với \displaystyle m=\frac{2}{3} thì phương trình có nghiệm duy nhất  x = 3

c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:

(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ \displaystyle m=\frac{3}{4}  Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do \displaystyle m-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}\ne 0)

Theo đinh lí Viet ta có:  x1.x2 = \displaystyle \frac{-3}{m-1}=\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12

⇒ x2 = 6

Vậy \displaystyle m=\frac{3}{4} và nghiệm còn lại là x2 = 6

Bài 4:    Cho phương trình:  x2 -2(m-1)x  - 3 - m = 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2

Bài 5:   Cho phương trình:  x2 + 2x + m-1= 0  ( m là tham số)

a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn \displaystyle {{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}} ; với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên

Bài viết liên quan:<< Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sốGiải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình >>

Toán cấp 2 © 2012 Toán học