Dạng bài tập: Tìm số dư – Số học 6

Tìm số dư là một dạng toán khó trong chương trình Số học 6. Để làm được dạng toán này thì các em cần phải thực hành giải nhiều bài tập.

Các em xem những ví dụ dưới đây rồi tự làm các bài tập tương tự.

Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia 2100

a) cho 9;            b) cho 25;           c) cho 125.

Giải:

a) Lũy thừa của 2 sát với một bội số của 9 là 23 = 8 = 9-1

Ta có 2100 =2( 23)33 = 2(9-1)33=2(B(9-1))

= B( 9) -2= B(9)+ 7

Số dư khi chia 2100 cho 9 là 7.

b) Lũy thừa của 2 sát với bội số của 25 là

210 = 1024 =B(25) -1

Ta có  2100= (210)10 =(B(25) -1)10 =B(25) +1

Số dư khi chia 2100 cho 25 là 1.

c) Dùng công thức Niu-tơn:

2100 = (5 – 1)50

=550-50.5049+….+\(\displaystyle \frac{50.49}{2}\).52 -50.5+1.

Không kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa lũy thừa của 5 với sô mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết  cho 125, số hạng cuối là 1 .

Vậy 2100 chia cho 125 dư 1.

Chú ý: Tổng quát hơn,ta chứng minh được rằng nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì n100 chia cho 125 có số dư là 1.

Thật vậy, n có dạng 5k ± 1,5k ± 2.Ta có

(5k ± 1)100=(5k)100 ±…+\(\displaystyle \frac{100.99}{2}\)(5k)2 ± 100.5k+1

= B(125) +1

(5k ± 2)100=(5k)100 ±…+\(\displaystyle \frac{100.99}{2}\)(5k)2.298 ± 100.5k .299+ 2100

                                        = B(125) +2100

Ta lại có 2100 chia cho 125 dư 1

Do đó (5k ± 2)100 chia cho 125 dư 1.

Ví dụ 2: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 khi viết trong hệ thập phân.

Giải: Theo ví dụ trên ta có

2100 = BS 125 +1,mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876.

Mà 2100 chia hết cho8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này.

Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376.

Chú ý: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n100 là 376.

Ví dụ 3: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 viết trong hệ thập phân.

Giải:

Cách 1. Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625.Do đó

51994=54k+2 =25(54k)=25(0625)k

= 25.(…0625)  = …..5625

Cách 2. Ta thấy 54k -1 chia hêt cho 54 -1

= (52 -1)(52 +1) nên chia hết cho 16.

Ta có: 51994 = 56( 5332 -1) +56

Do 56 chia hết cho 54, còn 5332 -1 chia hết cho 16 nên 56( 5332 -1) chia hết cho 10000

Và 56 = 15625.

Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5

Bài tập tương tự

1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7n và 7n+4 có hai chữ số tận cùng như nhau.

+ Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau?

– Khi hiệu của chúng chia hết cho 100

  Giải: Xét hiệu của 7n +4– 7n = 7n( 74 -1)

= 7n .2400

Do đó 7n+1 và 7n có chữ số tận cùng giống nhau.

2.Tìm số dư của 2222+5555 cho 7.

+ Xét số dư của 22 và 55 cho 7?

Giải: Ta có  2222 + 5555 =(B(7) +1)22 +(B(7) -1)55

                                                               = B(7) +1+ B(7) -1

= B(7)

Vậy2222 + 5555 chia hết cho 7

Toán cấp 2 © 2012 Frontier Theme