Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1991-1992

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1991-1992 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A

Bài 1:
a) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố khác 2 và khác 3 có dạng
6m + 1 hoặc 6m - 1.

b) Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố có dạng 6m - 1.

Bài 2:
a) Giải hệ phương trình:
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\\frac{2}{xy}-\frac{1}{z_{{}}^{2}}=4\end{array} \right.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \displaystyle 1+x+x_{{}}^{2}+x_{{}}^{3}=y_{{}}^{3}.

Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A, có độ dài các cạnh là: BC = a, AC = b, AB = c. Về phía ngoài tam giác ABC dựng hai nửa đường tròn đường kính AB và AC. Cát tuyến di động qua A cắt nửa đường tròn đường kính AB ở D và cát nửa đường tròn đơờng kính AC ở E.

a) Tìm tập hợp các trung điểm F của đoạn DE.

b) Gọi P là chu vi của tứ giác BDEC, tìm giá trị lớn nhất của P theo a, b, c.

Bài 4: Tam giác ABC vuông tại A, có độ dài các cạnh là: BC = a, AC = b, AB = c nội tiếp trong đường tròn đường kính BC. Từ một điểm P bất kì trên cung BC (P và A khác phía so với BC) kẻ PK vuông góc với BC yại K, PL vuông góc với AC tại L và PM vuông góc với AB tại M. Gọi độ dài các đoạn PK, PL, PM lần lượt là x, y, z. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
\displaystyle S=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}

BẢNG B

Bài 1:
a) Cho hai số dương a và b, chứng minh rằng:
\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.

Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào ?.

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
\displaystyle (1+{{x}_{1}})(1+{{x}_{2}})...(1+{{x}_{n}})=2_{{}}^{n}.\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}...{{x}_{n}}}.

Bài 2: Bạn Thắng học sinh lớp 6A đã viết một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14. Bạn Thắng đem số đó chia cho 8 thì được số dư là 4, chia cho 12 thì được số dư là 3.

a) Hãy chứng tỏ rằng bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép chia.

b) Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 phải có số dư là bao nhiêu ?. Hãy tìm số bị chia.

Bài 3: Xem câu a, bài 2 của Bảng A.

Bài 4: Xem bài 3 của Bảng A.

Bài viết liên quan:<< Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1990-1991Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1992-1993 >>

Toán cấp 2 © 2012 Toán học