Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1993-1994

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1993-1994 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A

Bài 1:
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \displaystyle 7x_{{}}^{2}+13y_{{}}^{2}=1820
.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước nguyên tố của \displaystyle p_{{}}^{4} là một số chính
phương.

Bài 2:
a) Cho \displaystyle S=a_{{}}^{2}+b_{{}}^{2}+c_{{}}^{2}+d_{{}}^{2}+ac+bd
, trong đó ad - bc = 1
1. Chứng minh S ≥ √3
2. Tính giá trị của tổng \displaystyle \left( a+c \right)_{{}}^{2}+\left( b+d \right)_{{}}^{2}, khi biết S = 3.

b) Giải hệ phương trình với các ẩn x, y, z sau đây:
\displaystyle \frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x_{{}}^{2}+y_{{}}^{2}+z_{{}}^{2}}{a_{{}}^{2}+b_{{}}^{2}+c_{{}}^{2}} (trong đó a, b, c là các số cho trước).

Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn a > b > c, và O là điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Các đướng thẳng AO, BO, CO thứ tự cắt các cạnh của tam giác tại P, Q, R.

Chứng minh rằng OP + OQ + OR < a.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có \displaystyle \widehat{A}<\widehat{B}. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông. Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.

BẢNG B

Bài 1: Xem bài 1 của Bảng A.

Bài 2:
a) Cho
a 0, b 0, c 0, chứng minh rằng: \displaystyle a_{{}}^{4}+b_{{}}^{4}+c_{{}}^{4}+d_{{}}^{4}\ge abc(a+b+c)
b) Xem phần b câu 2 bài 2 của Bảng A.

Bài 3: Cho tam giác ba góc nhọn ABC. Lấy điểm P ở trong tam giác ABC và trên các cạnh AC, BC ta lấy các điểm M L tương ứng, sao cho: \displaystyle \widehat{PAC}=\widehat{PAB} \displaystyle \widehat{PMC}=\widehat{PLC}=90_{{}}^{0}.

a) Chứng minh đường trung trực của ML đi qua trung điểm D của cạnh AB.

b) Hỏi với điều kiện nào của tam giác ABC thì trung trực của ML cũng là trung trực của
cạnh
AB ? Chứng minh điều đó.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có \displaystyle \widehat{A}<\widehat{B}. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông.

a) Chứng minh tam giác BIO vuông ở I.

b) Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.

Bài viết liên quan:<< Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1992-1993Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1994-1995 >>

Toán cấp 2 © 2012 Toán học