Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Hà Nam năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Hà Nam năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho biểu thức: P=\frac{x}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(1-\sqrt{y})}-\frac{y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+1)}-\frac{xy}{(\sqrt{x}+1)(1-\sqrt{y})}

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2.

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn 18a + 4b ≥ 2013. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18a{{x}^{2}}+4bx+671-9a=0.

b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình 18a{{x}^{2}}+4bx+671-9a=0.

Bài 3. (4,5 điểm)

a) Cho p2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.

b) Giải phương trình: 4{{x}^{2}}+3x+3=4\sqrt{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}+2\sqrt{2x-1}

Bài 4. (6,0 điểm)

Cho góc xOy có số đo bằng 60o. Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F.

a) Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ.

b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn.

c) Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều.

Bài 5. (2,0 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

\frac{a+1}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b+1}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c+1}{1+{{a}^{2}}}\ge 3