Đề thi Toán vào 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định 2017 - 2018

Bài 1: (2,0 điểm)   Cho biểu thức A =  \left( \frac{\sqrt{\text{x}}\,\,-\,\,2}{\text{x}\,\,-\,\,1}\,\,-\,\,\frac{\sqrt{\text{x}}\,\,+\,\,2}{\text{x}\,\,+\,\,2\sqrt{\text{x}}\,\,+\,\,1} \right)\frac{{{\text{x}}^{2}}\,\,-\,\,2\text{x}\,\,+\,\,1}{2}

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A

b) Tìm x để A ≥ 0

c)  Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 2: (2,0 điểm)

1) Giải phương trình sau: 4{{\text{x}}^{4}}\,\,+\,\,4{{\text{x}}^{3}}\,\,-\,\,20{{\text{x}}^{2}}\,\,+\,\,2\text{x}\,\,+\,\,1\,\,=\,\,0

2) Chứng minh rằng nếu số tự nhiên \overline{\text{abc}} là số nguyên tố thì {{\text{b}}^{2}}\,\,-\,\,4\text{ac} không là số chính phương.

Bài 3: (1,0 điểm)   Cho đa thức f(x) = – 2(m + 2)x + 6m + 1 (m là tham số). Bằng cách đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t và tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 4: (4,0 điểm)  

1. Cho đường tròn (T) tâm O đường kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy một điểm P khác A, điểm K thuộc đoạn OB (K khác O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) tại C và D (C nằm  giữa P và D), H là trung điểm của CD.

a) Chứng minh tứ giác AOHP nội tiếp được đường tròn.

b) Kẻ DI song song với PO, điểm I thuộc AB, chứng minh: \widehat{\text{PDI}}\,\,\text{=}\,\,\widehat{\text{BAH}}

c) Chứng minh đẳng thức \text{P}{{\text{A}}^{\text{2}}}\,\,\text{=}\,\,\text{PC}\text{.PD}

d) BC cắt OP tại J, chứng minh AJ song song với DB.

2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM ⊥ BC, kẻ IN ⊥ AC, IK ⊥ AB. Tìm vị trí của I sao cho tổng \text{I}{{\text{M}}^{\text{2}}}\,\,\text{+}\,\,\text{I}{{\text{N}}^{\text{2}}}\,\,\text{+}\,\,\text{I}{{\text{K}}^{\text{2}}} nhỏ nhất.

Bài 5: (1,0 điểm)  Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz ≤ 1.

Chứng minh rằng: \frac{\text{x}\left( 1\,\,-\,\,{{\text{y}}^{3}} \right)}{{{\text{y}}^{3}}}\,\,+\,\,\frac{\text{y}\left( 1\,\,-\,\,{{\text{z}}^{3}} \right)}{{{\text{z}}^{3}}}\,\,\,+\,\,\frac{\text{z}\left( 1\,\,-\,\,{{\text{x}}^{3}} \right)}{{{\text{x}}^{3}}}\,\,\,\ge \,\,0