Đề thi Toán vào lớp 10 TP. Hồ Chí Minh năm học 2014-2015

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP. Hồ Chí Minh năm học 2014-2015

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) \displaystyle {{x}^{2}}-7x+12=0

b) \displaystyle {{x}^{2}}-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0

c) \displaystyle {{x}^{4}}-9{{x}^{2}}+20=0

d) \displaystyle \left\{ \begin{matrix}3x-2y=4 \\4x-3y=5 \\\end{matrix} \right.

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D):  trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3: (1,5 điểm)

Thu gọn các biểu thức sau:

\displaystyle A=\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}-\frac{3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}

\displaystyle B=\left( \frac{x}{x+3\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+3} \right):\left( 1-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{6}{x+3\sqrt{x}} \right) (x > 0)

Bài 4: (1,5 điểm)

Cho phương trình \displaystyle {{x}^{2}}-mx-1=0 (1) (x là ẩn số)

  1. a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
  2. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):

Tính giá trị của biểu thức:

Đề thi Toán vào lớp 10 TP. Hồ Chí Minh năm học 2014-2015-1

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra \displaystyle \widehat{AHC}={{180}^{0}}-\widehat{ABC}

b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.

c) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh \displaystyle \widehat{AJI}=\widehat{ANC}

d) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ

Gợi ý giải:

Bài 1: (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) \displaystyle {{x}^{2}}-7x+12=0

\displaystyle \Delta ={{7}^{2}}-4.12=1 \displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{7+1}{2}=4\,\,\,hay\,\,\,x=\frac{7-1}{2}=3

b) \displaystyle {{x}^{2}}-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0

Phương trình có : a + b + c = 0 nên có 2 nghiệm là: \displaystyle x=1\,\,hay\,\,\,x=\frac{c}{a}=\sqrt{2}

c) \displaystyle {{x}^{4}}-9{{x}^{2}}+20=0

Đặt u = x2 ≥ 0 pt thành: \displaystyle {{u}^{2}}-9u+20=0\,\Leftrightarrow (u-4)\,(u-5)=0

\displaystyle \Leftrightarrow u=4\,\,\,hay\,\,u=5

Do đó pt \displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\,\,hay\,{{x}^{2}}=5\Leftrightarrow x=\pm 2\,\,\,hay\,\,x=\pm \sqrt{5}

d) \displaystyle \left\{ \begin{matrix}3x-2y=4 \\4x-3y=5 \\\end{matrix} \right.

⇔ \displaystyle \left\{ \begin{matrix}12x-8y=16\,\,\, \\12x-9y=15\,\,\,\, \\\end{matrix} \right.
⇔ \displaystyle \left\{ \begin{matrix}y=1 \\x=2 \\\end{matrix} \right.

Bài 2:

a) Đồ thị:

Đề thi Toán vào lớp 10 TP. Hồ Chí Minh năm học 2014-2015-3

 

Lưu ý:  (P) đi qua O(0;0), \displaystyle \left( \pm 1;1 \right),\left( \pm 2;4 \right)

(D) đi qua (-1;1) , (3;9)

b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là

x2 = 2x +3 ⇔ x2 - 2x - 3 = 0 ⇔ x = -1 hay x = 3 (do a-b+c=0)

y(-1) = 1, y(3) = 9

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là (-1;1) , (3;9)

Bài 3: Thu gọn các biểu thức sau

\displaystyle A=\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}-\frac{3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}

\displaystyle \frac{(5+\sqrt{5})(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}+\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}-\frac{3\sqrt{5}(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}

\displaystyle 3\sqrt{5}-5+\frac{5+\sqrt{5}}{4}-\frac{9\sqrt{5}-15}{4}=3\sqrt{5}-5+\frac{5+\sqrt{5}-9\sqrt{5}+15}{4}

\displaystyle 3\sqrt{5}-5+5-2\sqrt{5}=\sqrt{5}

Bài 4:
Cho phương trình \displaystyle {{x}^{2}}-mx-1=0 (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
Ta có a.c = -1 < 0 , với mọi m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m.

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):

Tính giá trị của biểu thức:

Đề thi Toán vào lớp 10 TP. Hồ Chí Minh năm học 2014-2015-1

Ta có \displaystyle x_{1}^{2}=m{{x}_{1}}+1\,\,\displaystyle x_{2}^{2}=m{{x}_{2}}+1\,\, (do x1, x2 thỏa 1)

Do đó:

Đề thi Toán vào lớp 10 TP. Hồ Chí Minh năm học 2014-2015-2

Bài 5:

Đề thi Toán vào lớp 10 TP. Hồ Chí Minh năm học 2014-2015-4

a) Ta có tứ giác BFHD nội tiếp do có 2 góc đối

F và D vuông ⇒ \displaystyle \widehat{FHD}=\widehat{AHC}={{180}^{0}}-\widehat{ABC}

b) \displaystyle \widehat{ABC}=\widehat{AMC} cùng chắn cung AC

\displaystyle \widehat{ANC}=\widehat{AMC} do M, N đối xứng

Vậy ta có \displaystyle \widehat{AHC\,} và \displaystyle \widehat{ANC\,} bù nhau

⇒ tứ giác AHCN nội tiếp

c) Ta sẽ chứng minh tứ giác AHIJ nội tiếp

Ta có \displaystyle \widehat{NAC}=\widehat{MAC} do MN đối xứng qua AC mà \displaystyle \widehat{NAC}=\widehat{CHN} (do AHCN nội tiếp)

\displaystyle \widehat{IAJ}=\widehat{IHJ} ⇒ tứ giác HIJA nội tiếp.

\displaystyle \widehat{AJI} bù với \displaystyle \widehat{AHI\,}\displaystyle \widehat{ANC} bù với \displaystyle \widehat{AHI\,}  (do AHCN nội tiếp)

⇒ \displaystyle \widehat{AJI}=\widehat{ANC}

Cách 2 :

Ta sẽ chứng minh IJCM nội tiếp

Ta có \displaystyle \widehat{AMJ} = \displaystyle \widehat{ANJ} do AN và AM đối xứng qua AC.

\displaystyle \widehat{ACH} = \displaystyle \widehat{ANH} (AHCN nội tiếp) vậy \displaystyle \widehat{ICJ} = \displaystyle \widehat{IMJ}

⇒ IJCM nội tiếp ⇒ \displaystyle \widehat{AJI}=\widehat{AMC}=\widehat{ANC}

d) Kẻ OA cắt đường tròn (O) tại K và IJ tại Q ta có \displaystyle \widehat{AJQ}\displaystyle \widehat{AKC}

\displaystyle \widehat{AKC} = \displaystyle \widehat{AMC} (cùng chắn cung AC), vậy \displaystyle \widehat{AKC} = \displaystyle \widehat{AMC}\displaystyle \widehat{ANC}

Xét hai tam giác AQJ và AKC :

Tam giác AKC vuông tại C (vì chắn nửa vòng tròn ) 2 tam giác trên đồng dạng

Vậy \displaystyle \widehat{Q}={{90}^{0}} . Hay AO vuông góc với IJ

Cách 2 : Kẻ thêm tiếp tuyến Ax với vòng tròn (O) ta có \displaystyle \widehat{xAC} = \displaystyle \widehat{AMC}

\displaystyle \widehat{AMC} = \displaystyle \widehat{AJI} do chứng minh trên vậy ta có \displaystyle \widehat{xAC} = \displaystyle \widehat{AJQ} ⇒ JQ song song Ax

Vậy IJ vuông góc AO (do Ax vuông góc với AO).

Toán cấp 2 © 2012 Toán học