Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán THPT chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2013-2014

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, chuyên Toán trường THPT chuyên Phan Bội Châu tỉnh Nghệ An năm học 2013-2014.

Câu 1 (7,0 điểm).

a) Giải phương trình: \displaystyle \left( \sqrt{2x+3}+2 \right)\left( \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1} \right)=5.

b) Giải hệ phương trình: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}y+2y=3\\{{y}^{3}}(3x-2)=1\end{array} \right.

Câu 2 (2,0 điểm).

Cho hai số nguyên \displaystyle x,y. Chứng minh rằng: \displaystyle (x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y)+{{y}^{4}}+2 không phải là số chính phương.

 Câu 3 (2,0 điểm).

Cho các số thực \displaystyle a,b,c thỏa mãn \displaystyle a\ge 0,b\ge 0,c\ge 1 và \displaystyle a+b+c=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \displaystyle T=(6-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}})(2-abc).

Câu 4 (7,0 điểm).

Cho đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A khác B. Kẻ các tiếp tuyến AD, AE của (O) ( D, E là các tiếp điểm). Kẻ DH vuông góc với EC tại H. Gọi K là trung điểm của DH, Gọi I là giao điểm của AC và DE. CK cắt (O) tại Q khác C, AQ cắt (O) tại M khác Q.

Chứng minh rằng:

a) AB.CI = AC.BI

b) QD vuông góc với QI.

c) DM song song với OC.

Câu 5 (2,0 điểm).

Trên mặt phẳng cho bảy điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Gọi h là đội dài lớn nhất của các đoạn thẳng nối hai trong bảy điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có các đỉnh là ba trong bảy điểm đã cho thỏa mãn diện tích của nó nhỏ hơn \displaystyle \frac{{{h}^{2}}(4\pi -3\sqrt{3})}{24}