Đề thi vào 10 môn Toán THPT chuyên Bắc Ninh năm 2013

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014.

Câu 1. (1,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức \(A=\left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\) với \(x\ge 0,\,\,x\ne \,1\).

b) Cho \(x=\frac{\left( \sqrt{3}-1 \right).\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}{\sqrt{21+4\sqrt{5}}+3}\), tính giá trị của biểu thức \(P={{\left( {{x}^{2}}+4x-2 \right)}^{2013}}.\)

Câu 2. (2,0 điểm)

Cho phương trình: \(2{{x}^{2}}-4mx+2{{m}^{2}}-1=0\) (1), với x là ẩn, m là tham số.

a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là \({{x}_{1}},{{x}_{2}}.\). Tìm m để \(\displaystyle 2{{x}_{1}}^{2}+4m{{x}_{2}}+2{{m}^{2}}-9<0.\)

Câu 3. (1,5 điểm)

a) Cho các số dương x, y thỏa mãn \(x-y={{x}^{3}}+{{y}^{3}}\). Chứng minh rằng \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}<1.\)

b) Giải hệ phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x={{y}^{2}}+1\\2y={{z}^{2}}+1\\2z={{x}^{2}}+1\end{array} \right..\)

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AHBC. Chứng minh rằng:

a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn;

b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng;

c) \(HA.HF={{R}^{2}}-O{{H}^{2}}.\)

Câu 5. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương \(\left( x;y;z \right)\) thỏa mãn \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}\) là số hữu tỷ, đồng thời \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\) là số nguyên tố.

b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB cùng có diện tích bằng 1.

Toán cấp 2 © 2012 Frontier Theme