Phương pháp giải các bài toán năng suất

Các bài toán năng suất cùng với các bài toán liên quan tới diện tích, tam giác, tứ giác nằm trong chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

Dưới đây là phương pháp giải cùng các ví dụ mẫu, bài tập tự luyện.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I. Các bước giải

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:

  • Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn.
  • Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị).
  • Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình.

Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số.

II. Các công thức liên quan

\(\displaystyle N=\frac{1}{t}\); \(\displaystyle t=\frac{1}{N}\); \(\displaystyle CV=N.t\)

Trong đó :

\(\displaystyle N\): là năng suất làm việc

\(\displaystyle t\): là thời gian hoàn thành công việc.

\(\displaystyle 1\): là công việc cần thực hiện.

\(\displaystyle CV\): số công việc thực hiện trong thời gian \(\displaystyle t\)

B. CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1. (Hà Nội, 2012 – 2013) Hai người cùng làm chung một công việc trong \(\displaystyle \frac{12}{5}\) giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là   giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

HƯỚNG DẪN GIẢI

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là \(x\) (giờ), ĐK \(x>\frac{12}{5}\)

Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là \(x+2\) (giờ)

Mỗi giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\)(cv), người thứ  hai làm được \(\frac{1}{x+2}\)(cv)

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong \(\frac{12}{5}\) giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được \(\frac{5}{12}\) (cv)

Do đó ta có phương trình: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{5}{12}\) ⇔ \(\frac{x+2+x}{x(x+2)}=\frac{5}{12}\) ⇔ \(5{{x}^{2}}-14x-24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=4\\x=-\frac{6}{5}\end{array} \right.\)

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong \(4\) giờ, người thứ hai làm xong công việc trong \(4+2=6\) giờ.

Ví dụ 2. Một tổ sản xuất theo kế hoạch, mỗi ngày phải sản xuất sản phẩm. Nhưng khi thực hiện tổ đã sản xuất được sản phẩm một ngày. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch ngày và còn vượt mức sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ sản xuất bao nhiêu sản phẩm.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Gọi \(x\) (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ sản xuất theo kế hoạch \(\left( x\in {{N}^{*}} \right)\)

Số ngày mà tổ sản xuất theo kế hoạch là: \(\frac{x}{50}\)(ngày)

Số sản phẩm thực tế tổ sản xuất được là: \(x+13\)(sản phẩm)

Số ngày mà tổ sản xuất theo thực tế là \(\frac{x+13}{57}\).

Ta có phương trình: \(\frac{x}{50}-\frac{x+13}{57}=1\)

\(\Leftrightarrow 57x-50\left( x+13 \right)=2850\Leftrightarrow x=500\) (nhận)

Vậy theo kế hoạch tổ sản xuất \(500\) sản phẩm.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. (Lâm Đồng, 2011 – 2012). Hai đội công nhân cùng đào một con mương . Nếu họ cùng làm thì trong 8 giờ xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội A hoàn thành công việc nhanh hơn đội B 12 giờ. Hỏi nếu  làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ mới xong việc.

Bài 2. (Chuyên Hà Giang, 2015 – 2016). Hai người thợ làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được \(\frac{1}{4}\) công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình trong mấy giờ thì xong?

Bài 3. (Phổ Thông Năng Khiếu, 2015 – 2016). Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 sẽ giải mỗi ngày 3 bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch được một thời gian, vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) thì An bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu An chỉ giải được 16 bài; sau đó, An cố gắng giải bài 4 mỗi ngày và đến 30/4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi An phải nghỉ giải toán bao nhiêu ngày?

Bài 4. (Quảng Ninh, 2015– 2016). Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành 84 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn 2 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm ?

Bài 5. (Bình Định, 2014– 2015). Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ, nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 7 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian để mỗi đội hoàn thành công việc là bao nhiêu?

Bài 6. (Đồng Nai, 2013 – 2014). Một xưởng có kế hoạch in xong 6000 quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định, biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch , mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn 300 quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch, nên xưởng in xong 6000 quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong 1 ngày theo kế hoạch.

Bài 7. (Hà Nội, 2014 – 2015). Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Bài 8. (Hải Phòng, 2015 – 2016). Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên cuối cùng đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng?

Bài 9. (Kiên Giang, 2015 – 2016). Một tổ công nhân phải may xong 420 bộ đồng phục trong khoảng thời gian nhất định. Nếu thêm 3 công nhân vào tổ thì mỗi người sẽ may ít hơn lúc ban đầu là 7 bộ đồng phục. Tính số công nhân có trong tổ lúc đầu.

Bài 10. (Quãng Ngãi, 2013 – 2014). Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

Toán cấp 2 © 2012 Frontier Theme