Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

Trong chương trình Đại số lớp 8 các em sẽ được học về cách ứng dụng hằng đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Trước hết các em cần phải nắm được (ghi nhớ) 7 hằng đẳng thức đáng nhớ dưới đây:

1)      (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

2)      (A – B)2 = A2 – 2AB + B2

3)      A2 – B2 = (A – B)(A + B)

4)      (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

5)      (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

6)      A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

7)      A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

Chúng ta cùng đi vào các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức nào.

Bài toán 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = x2 – 4x + 7

GIẢI.

Ta có : A = x2 – 4x + 7 = (x2 – 2.2.x + 4) + 3  = (x – 2)2 + 3

Ta luôn có : (x – 2)≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 2)2 + 3 ≥ 3 với mọi x.

 hay A ≥ 3  với mọi x.

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2  = 0 hay x = 2

Nên : Amin = 3 khi x = 2

Bài toán 2 : Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x .

B = 4x2 + 4x + 3

GIẢI.

Ta có : B = (2x)2 + 2.2x.1 + 12 + 2 = (2x + 1)2 + 2

Ta luôn có : (2x + 1)≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (2x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x.

Hay : B > 0 với mọi x.

Vậy : biểu thức B luôn dương với mọi x

Bài toán 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

C = x2 + 9y2 + 6x  – 6y + 5

GIẢI.

Ta có : C = x2 + 9y2 +6x  – 6y + 5

= (x2 + 2.x.3 + 9) + (9y2– 2.3y.1 +1) – 5  = (x + 3)2 + (3y – 1) 2 – 5

Mà : (x – 2)≥ 0 ; (3y – 1) 2 ≥ 0 với mọi x, y.

(x – 2)+ (3y – 1) 2 ≥ 0 với mọi x, y.

Suy ra : (x + 3)2 + (3y – 1) 2 – 5  ≥  –5 với mọi x, y.

hay : C ≥ -5  với mọi x. y.

Dấu “=” xảy ra khi : x + 3  = 0 và  3y – 1 = 0

x = -3 và y = 1/3

Nên : Cmin = -5 khi x = -3 và y = 1/3

Toán cấp 2 © 2012 Toancap2.com