Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau

Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)

Bài 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm N sao cho MN = MA. chứng minh : c) AC = BN. b)  AB // NC

Giải.

a) AC = BN :

Xét ΔACM và ΔNBM, ta có :Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau-1

 MB = MC (M là trung điểm của BC)

\widehat{AMC}=\widehat{NMB} (đối đỉnh).

MA = MN (gt).

=> ΔACM = ΔNBM (c -g -c)

=> AC = BN b) BC vuông góc DE :

Xét ΔABM và ΔNCM, ta có :

 MB = MC (M là trung điểm của BC)

\widehat{AMB}=\widehat{NMC} (đối đỉnh).

MA = MN (gt).

=> ΔABM = ΔNCM (c -g -c)

=>\widehat{BAM}=\widehat{CNM}

Mà : \widehat{BAM}; \widehat{CNM} ở vị trí so le trong. => AB // NC.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = AB.chứng minh : BC vuông góc DE.

Giải.

Xét ΔABD và ΔEBD, ta có :Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau-2

BE = AB (gt)

\widehat{B_1}=\widehat{B_2} (BD là phân giác góc B).

BD cạnh chung.

=> ΔABD = ΔEBD (c -g -c)

=>\widehat{BAD}=\widehat{BED}

Mà : \widehat{BAD}=90^0 (gt)

=> \widehat{BED}=90^0 Hay BC vuông góc DE.

Bài 3: Cho tam giác ABC . gọi D, E lần lượt  là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh :  A là trung điểm của MN.

Giải.

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :

 DB = DA (D là trung điểm của AB)

\widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đối đỉnh).Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau-3

DC  = DM (gt).

=> ΔBCD = ΔBMD (c -g -c)

=>\widehat{C_1}=\widehat{M} và BC = AM.

Mà : \widehat{C_1}; \widehat{M} ở vị trí so le trong. => BC // AM.

Cmtt, ta được : BC // AN và BC = AN.

ta có : BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)

=> A, M. N thẳng hàng. (1)

BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).

Từ (1) và (2), suy ra : A là trung điểm của MN.


Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau (góc – cạnh – góc)

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm AC. Từ A vẽ đường thẳng song song BC cắt BD tại E. trên cạnh BC lấy M, đường thẳng DM cắt AE tại N  Chứng minh :

  1. AE = BC.
  2. D là trung điểm MN.
  3.  AB // EC

Giải.

1) AE = BC :

Xét ΔADE và ΔCDB, ta có :

\widehat{A_1}=\widehat{C_1} (so le trong).

DA = DC (D là trung điểm AC)

\widehat{ADE}=\widehat{CDB} (đối đỉnh).

=> ΔADE = ΔCDB (g – c – g)

=> AE = BC.Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau-4

2) D là trung điểm MN : 

Xét ΔNDE và ΔMDB, ta có :

\widehat{E_1}=\widehat{B_1} (so le trong).

DE = DB (ΔADE = ΔCDB)

\widehat{EDE}=\widehat{MDB} (đối đỉnh).

=> ΔADE = ΔCDB (g – c – g)

=> DM = DN

Hay D là trung điểm MN.

3) AB // EC :

Xét ΔADB và ΔCDE, ta có :

DA = DC (D là trung điểm AC)

\widehat{ADB}=\widehat{CDE} (đối đỉnh).

DE = DB (ΔADE = ΔCDB)

=> ΔADE = ΔCDB (c – g – c)

=> \widehat{BAD}=\widehat{DCE}

Mà : \widehat{BAD};\widehat{DCE} ở vị trí so le trong.

=> AB // EC.


Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau (cạnh – cạnh – cạnh)

Bài 1:

Cho tam giác ABC có AB =AC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc BC.

Giải.

Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :

AB =AC (gt)Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau-5

MB = MC (M là trung điểm của BC)

AM cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c – c – c)

=> \widehat{AMB} =\widehat{AMC}

Mà : \widehat{AMB} +\widehat{AMC} =180^0 (hai góc kề bù)

=> \widehat{AMB} =\widehat{AMC}=90^0

Hay AM \bot  BC.

Bài 2:

Cho tam giác ABC có AB =AC, trong tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = MC . Chứng minh rằng AM là phân giác của \widehat{BAC} .

Giải.Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau-6

Xét ΔABM và ΔACM , có :

AB = AC (gt)

AM = BM (gt)

AM cạnh chung.

=> ΔABM = ΔACM (c – c – c)

=>\widehat{A_1} =\widehat{A_2} (góc tương ứng)

VẬY : AM là phân giác của \widehat{BAC}

 

Bài 3:

Cho tam giác ABC có AB  =AC. Gọi M là trung điểm của BC. chứng minh :

  1.  AM là đường trung trực của BC.
  2.  kẽ đường phân giác Ax của góc ngoài A. chứng minh : Ax // BC

Giải.

Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :

AB =AC (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

AM cạnh chungVí dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau-7

=> ΔAMB = ΔAMC (c – c – c)

=> \widehat{AMB} =\widehat{AMC}

Mà : \widehat{AMB} +\widehat{AMC} =180^0 (hai góc kề bù)

=> \widehat{AMB} =\widehat{AMC}=90^0

Hay AM \bot  BC tại M.

mà : M là trung điểm của BC (gt)

vậy :  AM là đường trung trực của BC

2. Ax // BC

ta có : \widehat{A_1} =\widehat{A_2} (góc tương ứng của ΔAMB = ΔAMC)

=>AM đường phân giác của góc A.

=> \widehat{A_2} =\widehat{BAC}:2

mà : \widehat{A_3} =\widehat{CAy}:2 (đường phân giác Ax của góc ngoài A )

nên : \widehat{A_2}+ \widehat{A_3}=\widehat{BAC}:2 +\widehat{CAy}:2

mà : \widehat{BAC} +\widehat{CAy}=180^0

=> \widehat{A_2}+ \widehat{A_3}=180^0:2=90^0

hay : AM \bot  Ax.

mà :AM \bot  BC (cmt)

vậy : Ax // BC.

Bài 4: Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H trên nửa mặt phẳng BCA không chứa điểm B. Vẽ tam giác ACD sao cho AD = BC , CD = AB . Chứng minh:
a, AB // CD
b, AH vuông góc với AD

Giải.

a) cm : AB // DCVí dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau-8
Xét ΔABC và ΔCDA , ta có :
AB = CD(gt)
BC = AD (gt)
AC cạnh chung.
=> ΔABC = ΔCDA (c – c – c)
=>\widehat{BAC} =\widehat{ACD} (góc tương ứng)
=> AB // DC (\widehat{BAC} ; \widehat{ACD} so lo trong)
b) AH vuông góc với AD
Ta có :
cmtt, ta được : AD // BC
mà : AH ⊥ BC (gt)
=> AH ⊥ AD

Toán cấp 2 © 2012 Toán học