03/11/2017

Các dạng toán về viết phương trình đường tròn

Các dạng toán về viết phương trình đường tròn bao gồm: viết PT đường tròn đi qua 3 điểm, PT đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng.

Và viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Cụ thể về phương pháp giải toán và ví dụ các em xem ngay dưới đây.

Phương pháp giải toán

Để lập phương trình đường tròn đi ngang qua 3 điểm $A,B,C$ (không thẳng hàng), ta tiến hành như sau

Khai báo phương trình đường tròn: $x^2+ y^2+ax+by+c=0$ (*) (trong đó a, b và c là các hệ số mà ta cần xác định)

Do đường tròn đi qua các điểm A, B và C nên thay tọa độ các điểm $A, B$ và $C$ vào phương trình (*) ta thu được hệ sau:

$\left\{ \begin{array}{l} x_A^2+y_A^2+ax_A+by_A+c=0 \\ x_B^2+y_B^2+ax_B+ by_B+c=0 \\ x_C^2+y_C^2+ax_C+by_C+c=0 \end{array} \right.$

Thay các giá trị $a,b$ và $c$ vừa tìm vào (*) để xác lập phương trình của đường tròn

Phương pháp giải toán

Giả sử đường tròn có tâm $I(x_0;y_0)$ và tiếp xúc đường thẳng d: $ax+by+c=0$

Để viết phương trình đường tròn, công việc của ta là xác định giá trị bán kính $R$ của đường tròn

Do đường tròn tiếp xúc đường thẳng $d$ , nên bán kính $R=d(I, d)$ do vậy ta có R = $\frac{\left|{ax_0+by_0+c}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Với giá trị bán kính $R$ và tọa độ tâm $I$ , ta viết được phương trình của đường tròn

Bài tập : Viết phương trình đường tròn có tâm $I(-2;3)$ và tiếp xúc đường thẳng $d$ : $-3x-4y-4=0$

Bài giải:

Gọi $R$ là bán kính của đường tròn

Do đường tròn tiếp xuác đường thẳng $d$ , nên ta có

$R=\frac{\left|{-3.(-2)-4.3-4}\right|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=2$

Vậy phương trình đường tròn là: $(x+2)^2+(y-3)^2=4$

Phương pháp giải toán

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của tiếp tuyến

Ví dụ 1:

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ : $(x -1)^2+ (y-2)^2=25$ Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k=3$

Hướng dẫn:

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$ , bán kính $R=5$
Tiếp tuyến có hệ số góc là $3$ nên phương trình tiếp tuyến có dạng: $y=3x+b$ hay $3x-y+b=0$ ( trong đó $b$ là hệ số mà ta cần xác định ).
Do đường thẳng là tiếp tuyến nên khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng bằng bán kính $R$ , do vậy ta được: $\frac{\left|{3.1-2+b}\right|}{\sqrt {3^2+ 1^2 }}=5$ $\Leftrightarrow$ $\left| {b+1} \right|=5$ $\Leftrightarrow$ $b=-1\pm5\sqrt{10}$ .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm : $3x-y-1+5\sqrt {10}=0,3x-y-1-5\sqrt {10}=0$