Đặt ẩn phụ để đưa về tích phân ban đầu

Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về tích phân ban đầu là phương pháp hay được dùng để tính toán các dạng tích phân lượng giác với hàm số sin, cos, tan, cot với các cận π, π/2.

Công thức cần ghi nhớ:

[latex]\displaystyle \sin (\frac{\prod }{2}-x)=\cos x[/latex] ,

[latex]\displaystyle \cos (\frac{\prod }{2}-x)=\sin x[/latex] ,

[latex]\displaystyle \sin (\prod -x)=\sin x[/latex] ,

[latex]\displaystyle \cos (\prod -x)=-cosx[/latex] ,

*Ví dụ: Tính tích phân [latex]\displaystyle I=\int\limits_{0}^{\prod }{\frac{x\sin x}{4-\cos _{{}}^{2}x}dx}[/latex] bằng cách đặt ẩn phụ đưa về tích phân ban đầu.

Giải:

Đặt t = π – x [latex]\displaystyle \left| \begin{array}{l}x=0\to t=\prod \\x=\prod \to t=0\end{array} \right.\left| \begin{array}{l}dt=-dx\\dx=-dt\end{array} \right.[/latex]

Khi đó: [latex]\displaystyle I=\int\limits_{0}^{\prod }{\frac{(\prod -t)\sin (\prod -t)}{4-\cos _{{}}^{2}(\prod -t)}dx}=\int\limits_{0}^{\prod }{\frac{(\prod -t)\sin t}{4-\cos _{{}}^{2}t}dx}[/latex]

[latex]\displaystyle I=\int\limits_{0}^{\prod }{\frac{\prod \sin t}{4-\cos _{{}}^{2}t}dx}-\int\limits_{0}^{\prod }{\frac{t\sin t}{4-\cos _{{}}^{2}t}dx}[/latex]

⇒ I = [latex]\displaystyle \int\limits_{0}^{\prod }{\frac{\prod \sin t}{4-\cos _{{}}^{2}t}dx}[/latex] – I

⇒ [latex]\displaystyle I=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\prod }{\frac{\prod \sin t}{4-\cos _{{}}^{2}t}dx}[/latex]

Đến đây các em sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với a = cost (phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến)

* Bài tập thực hành:

a, Giải tích phân [latex]\displaystyle I=\int\limits_{0}^{\frac{\prod }{2}}{\frac{4\sin xdx}{\left( \operatorname{s}\text{inx}+\cos x \right)_{{}}^{3}}}[/latex]

b, Giải tích phân [latex]\displaystyle I=\int\limits_{0}^{\frac{\prod }{2}}{\frac{(4\cos x-5\sin x)dx}{\operatorname{s}\text{inx}+\cos x}}[/latex]