02/12/2017

2 dạng toán nhị thức Newton thường gặp trong đề thi đại học

By Giáo Sư Trần Ngọc Bảo Châu Chuyên đề, Tổ hợp và nhị thức Newton 0 Comments

Nhị thức Newton là một trong những nội dung trong các đề thi đại học môn Toán từ xưa tới nay. Trong chủ đề này có 2 dạng toán cơ bản.

Đó là: Tìm số hạng trong khai triển và ứng dụng của nhị thức Newton.

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Để có thể làm được các dạng toán về nhị thức Niutơn các em cần phải nắm được các kiến thức liên quan bao gồm:

Công thức khai triển nhị thức Newton: $\displaystyle {\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}$ , $\left(a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}^*\right)$ .
Công thức số tổ hợp: $C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}$ , $\left(0\le k\le n\right)$ .
Tính chất lũy thừa: ${a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }};\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }};{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }};{\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }{b^\alpha };{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}$ .

Và khi nhớ được kiến thức lý thuyết, chúng ta bắt đầu đi vào thực hành với các dạng toán.

B. CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1: Tìm số hạng chứa $x^{\alpha}$ trong khai triển $(a+b)^n$ .

Phương pháp.

Viết khai triển $\left( {a + b} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}$ ;
Biến đổi khai triển thành $(a+b)^n=\sum\limits_{k = 0}^n {A.x^{f(k)}}$ ;
Số hạng chứa $x^{\alpha}$ tương ứng với số hạng chứa $k$ thỏa $f(k)=\alpha$ .
Từ đó suy ra số hạng cần tìm.

Ví dụ 1. Tìm hệ số của $x^{15}$ trong khai triển đa thức:

$P(x)=(2x-3x^2)^{10}$

Lời giải.

Ta có $\displaystyle P(x) = {\left( {2x - 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {2x} \right)}^{10 - k}}{{\left( { - 3{x^2}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{2^{10 - k}}{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{10 + k}}}$ .

Số hạng chứa $x^{15}$ tương ứng với số hạng chứa $k$ thỏa $10+k=15\Leftrightarrow k=5$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{15}$ là $C_{10}^5{.2^5}.{\left( { - 3} \right)^5} = - {6^5}C_{10}^5$ .

Ví dụ 2. (D-04) Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

${\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7},x > 0$

Lời giải.

Ta có $\displaystyle {\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7} = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{7 - k}}} {\left( {{x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{x^{\frac{7}{3} - \frac{{7k}}{{12}}}}}$ .

Số hạng không chứa $x$ tương ứng số hạng chứa $k$ thỏa $\displaystyle \frac{7}{3} - \frac{{7k}}{{12}}=0\Leftrightarrow k=4$ .

Vậy số hạng không chứa $x$ là $C_7^4=35$ .

Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa $x^8$ trong khai triển ${\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}$ , biết:

$C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)$

Lời giải.

Theo giả thiết có: $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{{(n + 4)(n + 3)(n + 2)}}{{3!}} - \dfrac{{(n + 3)(n + 2)(n + 1)}}{{3!}} = 7\left( {n + 3} \right)\Leftrightarrow n=12$ .

Khi đó ${\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n} = {\left( {{x^{ - 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{\left( {{x^{ - 3}}} \right)}^{12 - k}}{{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{\frac{{11}}{2}k - 36}}}$ .

Số hạng chứa $x^8$ tương ứng số hạng chứa $k$ thỏa $\displaystyle \frac{{11}}{2}k - 36\Leftrightarrow k=8$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^8$ là $C_{12}^8 = 495$ .

Ví dụ 4. (A-04) Tìm hệ số của $x^8$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

${\left( {1 + {x^2}\left( {1 - x} \right)} \right)^8}$

Lời giải.

Ta có khai triển: ${\left( {1 + {x^2}\left( {1 - x} \right)} \right)^8}= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left[ {{x^2}(1 - x)} \right]}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}{{(1 - x)}^k}}$

$= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}\left( {\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{( - x)}^i}} } \right)}= \sum\limits_{k = 0}^8 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_8^k{x^{2k}}C_k^i{{( - 1)}^i}{x^i}} } = \sum\limits_{k = 0}^8 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_8^kC_k^i{{( - 1)}^i}{x^{2k + i}}} }$ .

Số hạng chứa $x^8$ tương ứng số hạng chứa $k$ và $i$ thỏa $2k+i=8$ .

Vì $0\le i\le k\le 8$ nên $2k + i = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 3\\ i = 2 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4}\\ {i = 0} \end{array}} \right.$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^8$ là $C_8^3C_3^2{( - 1)^2} + C_8^4C_4^0{( - 1)^0} = 238$ .

DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến $C_n^k$ .

Phương pháp.

Chọn một khai triển $(a+x)^n$ phù hợp, ở đây $a$ là hằng số.
Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân.
Dựa vào điều kiện bài toán, thay $x$ bởi một giá trị cụ thể.

Ví dụ 5. (D-02) Tìm số nguyên dương $n$ thoả mãn hệ thức:

$C_n^0 + 2.C_n^1 + {2^2}.C_n^2 + ... + {2^n}.C_n^n=243$

Lời giải.

Xét khai triển ${(1 + x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}}$ .

Chọn $x=2$ ta có ${3^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{2^k}}$ .

Lại theo giả thiết ta có $3^n=243\Leftrightarrow n=5$ .

Ví dụ 6. (A-06) Tìm hệ số của $x^{26}$ trong khai triển ${\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}$ , biết:

$C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1$

Lời giải.

Xét khai triển ${(1 + x)^{2n+1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n+1} {C_{2n+1}^k{x^k}}$ .

Chọn $x=1$ ta có ${2^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k}$ .

Lại có $C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 - k}$ nên ${2^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k} = 2\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n + 1}^k} \Leftrightarrow {2^{2n}} - 1 = \sum\limits_{k = 1}^n {C_{2n + 1}^k}$ .

Lại theo giả thiết có ${2^{2n}} - 1 = {2^{20}} - 1 \Leftrightarrow k = 10$ .

Khi đó ${\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n} = {\left( {{x^{ - 4}} + {x^7}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^{ - 4}}} \right)}^{10 - k}}{{\left( {{x^7}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{11k - 40}}}$ .

Số hạng chứa $x^{26}$ tương ứng số hạng chứa $k$ thỏa $11k-40=26\Leftrightarrow k=6$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{26}$ là $C_{10}^6 = 210$ .

Ví dụ 7. (D-08) Tìm số nguyên dương $n$ thoả mãn hệ thức:

$C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 1} = 2048$

Lời giải.

Xét khai triển ${(1 + x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k{x^k}}$ .

Chọn lần lượt $x=1$ và $x=-1$ ta có $\begin{cases} {2^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k}&(1)\\ 0 = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k{{( - 1)}^k}}&(2) \end{cases}$ .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có ${2^{2n}} = 2\left( {C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 1}} \right)$ .

Lại theo giả thiết có ${2^{2n}} = 2.2048 \Leftrightarrow {2^{2n}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 6$ .

Ví dụ 8. (A-05) Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn:

$C_{2n + 1}^1 - 2.2C_{2n + 1}^2 + {3.2^2}C_{2n + 1}^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2005$

Lời giải.

Xét khai triển ${(1 + x)^{2n+1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n+1} {C_{2n+1}^k{x^k}}$ .

Lấy đạo hàm hai vế được $(2n + 1){(1 + x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^kk{x^{k - 1}}}$ .

Thay $x=-2$ ta có $2n + 1 = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^kk{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}{2^{k - 1}}}$ .

Theo giả thiết ta có $2n+1=2005\Leftrightarrow n=1002$ .

Ví dụ 9. Chứng minh rằng:

$2.1.C_n^2 + 3.2.C_n^3 + 4.3.C_n^4 + ... + n\left( {n - 1} \right)C_n^n = n\left( {n - 1} \right){2^{n - 2}}$

Lời giải.

Xét khai triển ${\left( {1 + x} \right)^{n}} = \sum\limits_{k = 0}^{n} {C_{n}^k{x^k}}$ .

Lấy đạo hàm cấp hai hai vế ta có: $n(n - 1){\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^kk(k - 1){x^{k - 2}}}$ .

Chọn $x=1$ ta có $n(n - 1){2^{n - 2}} = \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^kk(k - 1)}$ (đpcm).

Ví dụ 10. (B-03) Cho $n$ là số nguyên dương. Tính tổng:

$\displaystyle C_n^0 + \frac{{{2^2} - 1}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3} - 1}}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$

Lời giải.

Xét khai triển ${\left( {1 + x} \right)^{n}} = \sum\limits_{k = 0}^{n} {C_{n}^k{x^k}}$ .

Lấy tích phân từ 1 đến 2 cả hai vế ta có: $\displaystyle\int\limits_1^2 {{{\left( {1 + x} \right)}^n}dx} = \int\limits_1^2 {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}dx} }$

$\displaystyle\Leftrightarrow \left. {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_1^2 = \left. {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{x^{k + 1}}}}{{k + 1}}} } \right|_1^2 \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} - 2^{n+1}}}{{n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}} - 1}}{{k + 1}}}$ .

Vậy $\displaystyle \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}} - 1}}{{k + 1}}}=\frac{{{3^{n + 1}} - 2^{n+1}}}{{n + 1}}$ .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{12}$ trong khai triển biểu thức $\left(x^2+\frac{2}{x}\right)^{21}$ .

2. (A-2012) Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $5C_n^{n - 1} = C_n^3$ .

Tìm số hạng chứa $x^5$ trong khai triển nhị thức Newton của $\displaystyle {\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} - \frac{1}{x}} \right)^n},x \ne 0$ .

3. (A-02) Cho khai triển biểu thức

${\left( {{2^{\frac{{x - 1}}{2}}} + {2^{ - \frac{x}{3}}}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{2^{\frac{{x - 1}}{2}}}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{2^{\frac{{x - 1}}{2}}}} \right)^{n - 1}}\left( {{2^{ - \frac{x}{3}}}} \right) + ... + C_n^n{\left( {{2^{ - \frac{x}{3}}}} \right)^n}$

biết rằng trong khai triển đó $C_n^3 = 5C_n^1$ và số hạng thứ tư bằng $20n$ . Tìm $n$ và $x$ .

4. (D-07) Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

$x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}$

5. (D-03) Với $n$ là số nguyên dương, gọi $a_{3n-3}$ là hệ số của $x^{3n-3}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{\left( {x + 2} \right)^n}$ . Tìm $n$ để ${a_{3n - 3}} = 26n$ .

6. Tính tổng $S = C_{2013}^0 + 3C_{2013}^1 + 3^2C_{2013}^2 + ... + 3^{2013}C_{2013}^{2013}$ .

7. (B-07) Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển biểu thức:

${\left( {2 + x} \right)^n}$ , biết ${3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 2048$

8. (A-08) Cho khai triển:

${\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_n}{x^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

và các hệ số ${a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n}$ thoả mãn hệ thức ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \frac{{{a_2}}}{4} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096$ .

Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n}$ .

9. Tính tổng $S = C_{2013}^0 + C_{2013}^2 + C_{2013}^4 + ... + C_{2013}^{2012}$ .

10. Tính tổng ${\left( {C_{2014}^0} \right)^2} + {\left( {C_{2014}^1} \right)^2} + {\left( {C_{2014}^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_{2014}^{2014}} \right)^2}$ .

11. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $1.C_n^1 + 2.C_n^2 + ... + nC_n^n = n{.2^{2013}}$ .

12. Tính tổng $S = 2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n$ .

13. Tính tổng $S = {1^2}C_{2013}^1{2^{2012}} + {2^2}C_{2013}^2{2^{2011}} + ... + {2013^2}C_{2013}^{2013}{2^0}$ .

14. (A-07) Chứng minh rằng $\displaystyle \frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3 + ... + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n - 1} = \frac{{{2^{2n}} - 1}}{{2n + 1}}$ .

(Theo nmhieupdp.wordpress.com)

Tags:nhị thức newton, nhị thức niu tơn