Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
1. Kiến thức cần nhớ
a. Nội dung phương pháp
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức $latex A\ge B$. Tư tưởng của phương pháp là ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý. Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những mệnh đề mâu thuẫn nhau, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Các bước suy luận phản chứng
Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh).
Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết.
Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai. Vậy bài toán được chứng minh.
Chú ý: Trong các bước suy luận phản chứng nêu trên, bước 1 rất quan trọng vì cần tạo ra mệnh đề phủ định điều cần chứng minh thực sự chính xác.
b. Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức
+ Dùng mệnh đề đảo.
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.
+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.
+ Phủ định rồi suy ra hai mệnh đề trái ngược nhau.
+ Phủ định rồi suy ra kết luận.
c. Một số đẳng thức và bất đẳng thức cần nhớ
+ $latex {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\left( ab+bc+ca \right)=\frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}}{2}\ge 0$
+ $latex {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}\ge 0$
+ $latex {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$
2. Một số ví dụ minh họa
| Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là đúng: $latex \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2bc\,\,\,\,\,\,\,{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2ca\,\,\,\,\,\,\,\,{{c}^{2}}+{{a}^{2}}\ge 2ab$ |
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng sai. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng sai không thể xẩy ra là được.
Lời giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên cùng sai, tức là ta có ba bất đẳng thức sau
$latex \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}<2bc\,\,\,\,\,\,\,{{b}^{2}}+{{c}^{2}}<2ca\,\,\,\,\,\,\,\,{{c}^{2}}+{{a}^{2}}<2ab$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được
$latex \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab \right)+\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc \right)+\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ca \right)<0$
Hay $latex {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}<0$ .
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức $latex {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
| Ví dụ 2. Cho các số thực . Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây là sai:
$latex a\left( 2-b \right)>1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\left( 2-c \right)>1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c\left( 2-a \right)>1$ |
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức sai, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. Chú ý ở đây ta có giả thiết $latex a,\,b,\,c\in (0,\,\,2)$ nên có thể sử dụng đến các hiệu $latex 2-a,\,\,2-b,\,\,2-c$ là các số dương.
Lời giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế với vế ta có
$latex a\left( 2-b \right).b\left( 2-c \right).c\left( 2-a \right)>1\Leftrightarrow a\left( 2-a \right).b\left( 2-b \right).c\left( 2-c \right)>1$
Mặt khác do $latex a\in (0,\,\,2)$ nên ta có $latex 2-a>0$. Do đó ta được
$latex 0<a\left( 2-a \right)=2a-{{a}^{2}}=1-\left( 1-2a+{{a}^{2}} \right)=1-{{\left( a-1 \right)}^{2}}\le 1$
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có $latex 0<b\left( 2-b \right)\le 1;\,\,\,0<c\left( 2-c \right)\le 1$
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được
$latex a\left( 2-a \right).b\left( 2-c \right).c\left( 2-c \right)\le 1$
Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức $latex a\left( 2-a \right).b\left( 2-b \right).c\left( 2-c \right)>1$.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
| Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn thỏa mãn các điều kiện sau
$latex a+b+c>0;\,\,ab+bc+ac>0;\,\,abc>0$ Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương. |
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba số a, b, c đều là số dương, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp một số nào đó không dương. Như vậy ta chỉ cần chứng minh một số bất kì không dương không thể xẩy ra là được.
Lời giải
Giả sử rằng trong ba số a, b, c có một số không dương, không mất đi tính tổng quát ta chọn số đó là a, tức là ta có $latex a\le 0$.
Vì $latex abc>0$ nên $latex a\ne 0$, do đó suy ra $latex a<0$.
Lại có $latex a+b+c>0$ nên $latex b+c>0$, từ đây suy ra $latex a\left( b+c \right)<0$
Theo giả thiết thứ hai $latex ab+bc+ca>0$ hay $latex a\left( b+c \right)+bc>0$ dẫn đến $latex bc>0$
Như vậy ta được $latex a<0;\,\,bc>0$ vì thế ta có $latex abc<0$. Bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết thứ ba của bài toán.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
| Ví dụ 4. Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 bất đẳng thức:
$latex a+\frac{1}{b}<2\,\,\,\mathrm{ }\,\,\,\,\,b+\frac{1}{c}<2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{ }c+\frac{1}{a}<2$ |
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh không tồn tại ba số dương a, b, c để cả ba bất đẳng thức trên đều đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. Chú ý các bất đẳng thức trên làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng $latex x+\frac{1}{x}\ge 2$.
Lời giải
Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức:
$latex a+\frac{1}{b}<2;\mathrm{ }b+\frac{1}{c}<2;\mathrm{ }c+\frac{1}{a}<2$
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được:
$latex a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6\Leftrightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)<6\,\,\,\,\,\mathrm{ }(1)$
Vì a, b, c là các số dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta được
$latex a+\frac{1}{a}\ge 2;\,\,\,b+\frac{1}{b}\ge 2;\,\,\,\,c+\frac{1}{c}\ge 2$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được
$latex \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)\ge 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
| Ví dụ 5: Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các số 9ab , 9bc , 9ac nhỏ hơn $latex {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$. |
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh tồn tại ít nhất một trong ba số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn $latex {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba số 9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn $latex {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$. Như vậy ta chỉ cần chứng minh ba số 9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn $latex {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$ không xẩy ra là được. Chú ý các đại lượng 9ab, 9bc, 9ca, $latex {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$ làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức $latex {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca$.
Lời giải
Giả sử điều cần chứng minh là sai, tức là ta có các bất đẳng thức sau
$latex 9ab\ge {{\left( a+b+c \right)}^{2}};\,\,\,9bc\ge {{\left( a+b+c \right)}^{2}};\,\,9ca\ge {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được
$latex \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{{\left( a+b+c \right)}^{2}}\le 9\left( ab+bc+ca \right)\Leftrightarrow {{\left( a+b+c \right)}^{2}}\le 3\left( ab+bc+ca \right)\\\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le ab+bc+ca\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$
Theo bài ra a, b, c đôi một khác nhau nên ta lại có
$latex {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}>0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
| Ví dụ 6: Cho a, b, c, d là bốn số thực dương bất kì. Chứng minh rằng ba bất đẳng thức sau không thể cùng xảy ra:
$latex \begin{array}{l}a+b<c+d\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( a+b \right)\left( c+d \right)<ab+cd\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\left( a+b \right)cd<\left( c+d \right)ab\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}$ |
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba bất đẳng thức trên không cùng xẩy ra tức là có ít nhất một bất đẳng thức sai, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được.
Lời giải
Giả sử tồn tại bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn cả ba bất đẳng thức.
Từ bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức (2) ta có
$latex \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{{\left( a+b \right)}^{2}}<\left( a+b \right)\left( c+d \right)<ab+cd\\\Leftrightarrow cd>{{\left( a+b \right)}^{2}}-ab={{\left( a-b \right)}^{2}}+3ab\ge 3ab\\\Rightarrow cd>3ab\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}$
Mặt khác ta lại có
$latex \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( a+b \right)cd<\left( c+d \right)ab\\\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}cd<\left( c+d \right)\left( a+b \right)ab<\left( ab+cd \right)ab\\\Rightarrow ab\left( ab+cd \right)>{{\left( a+b \right)}^{2}}cd\ge 4ab.cd\\\Rightarrow ab\left( ab+cd \right)>4ab.cd\\\Rightarrow ab>3cd\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\end{array}$
Ta thấy hai bất đẳng thức (4) và (5) mâu thuẫn với nhau.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.