Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Đây là bài thứ 5 of 10 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.

* Cấu trúc của phương pháp.

– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh

– Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)

– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.

Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

\(\displaystyle a+\frac{1}{b}<2\) ; \(\displaystyle b+\frac{1}{c}<2\)  ; \(\displaystyle c+\frac{1}{a}<2\)

Giải

Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT:

\(\displaystyle a+\frac{1}{b}<2\) ; \(\displaystyle b+\frac{1}{c}<2\)  ; \(\displaystyle c+\frac{1}{a}<2\)

Suy ra : \(\displaystyle a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6\) ⇔ \(\displaystyle \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)<6\)      (*)

Mà: \(\displaystyle a+\frac{1}{a}\ge 2\) (a > 0) ;  \(\displaystyle b+\frac{1}{b}\ge 2\) (b > 0)   ; \(\displaystyle c+\frac{1}{c}\ge 2\) (c > 0)

\(\displaystyle \Rightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)\ge 6\)

Do đó (*) vô lý.

Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

\(\displaystyle a+\frac{1}{b}<2\) ; \(\displaystyle b+\frac{1}{c}<2\)  ; \(\displaystyle c+\frac{1}{a}<2\)

Bài cùng series:<< Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thứcChứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm >>

Toán cấp 2 © 2012 Frontier Theme