03/11/2017

Một số dạng Toán về mặt phẳng và đường thẳng

Các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng xuất hiện khá nhiều trong đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng môn Toán từ trước tới nay.

Và dưới đây là Phương pháp giải và ví dụ bài tập về 4 dạng toán về mặt phẳng và đường thẳng mà các em cần ghi nhớ.

Tóm tắt

1 Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
2 Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và trong không gian
3 Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
4 Dạng 4: Tìm hình chiếu

Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$

Phương pháp :

Xác định một điểm cố định $M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 )$ $\in$ $\Delta$

Xác định một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3)$ của $\Delta$ .

Phương trình tham số và phương trình chính tắc của $\Delta$ lần lượt có dạng

$\Delta$ : $\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2t \\ z=z_0+a_3t \end{array} \right.$

$\Delta$ : $\frac{{x - x_0 }}{{a_1 }}=\frac{{y - y_0 }}{{a_2 }} = \frac{{z - z_0 }}{{a_3 }}$ nếu $a_1;a_2;a_3$ đều $\ne 0$

Ví dụ : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điêm $A(1;2;3$ và $B(4;5;6)$

Lời giải:

$\Delta$ đi qua hai điểm $A(1;2;3$ và $B(4;5;6)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB}=(3;3;3)$

Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2+3t \\ z=3+3t \end{array}\right.$

Vậy phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{3}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z - 3}{3}$

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ trong không gian

Phương pháp :

Xác định điểm cố định $M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3)$ của $\Delta$ .Xác định điểm cố định $M_0 (x'_0 ;y'_0 ;z'_0)$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow a'=(a'_1;a'_2;a'_3)$ của $\Delta'$ .

Tính $\overrightarrow n=[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}]$ .

Dùng các dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối giữa $\Delta$ và $\Delta'$ .

$\Delta$ // $\Delta'$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0} \\ M_{0}\notin \Delta' \end{array}\right.$

$\Delta$ $\equiv$ $\Delta'$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0} \\ M_{0}\in \Delta' \end{array}\right.$

$\Delta$ cắt $\Delta'$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{n}\overrightarrow{M_0M_0'}=0 \\ \end{array}\right.$

$\Delta$ và $\Delta'$ chéo nhau $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow n.\overrightarrow{M_0 M_0 '}\ne 0$

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z - 5}{1}$ với đường thẳng

$d$ : $\left\{\begin{array}{l} x=3+4t \\ y=2+3t \\ z=6+5t \end{array}\right.$

Lời giải:

Ta có đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(1; - 2;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(2;3;1)$
$d$ đi qua $M(3;2;6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(4;3;5)$

Ta có : $\overrightarrow n=[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}]=(12;-6;-6)$ $\ne \overrightarrow 0$ .

$\overrightarrow{M_0M}=(2;4;1)$

$\overrightarrow {n.} \overrightarrow{M_0 M}=24-24-6=-6$

Vậy $\Delta$ và $d$ chéo nhau.

Các em có thể lấy ví dụ về các trường hợp còn lại

Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp :

Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0 ;y_0 ;z_0 )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(a_1;a_2;a_3)$ , cho mặt phẳng $( \alpha)$ có phương trình tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ .

Gọi $\overrightarrow n=(A;B;C)$ là VTPT của $(\alpha)$ .

Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ ta có các cách sau:

Cách 1: Xét tích vô hướng $\overrightarrow n.\overrightarrow a$ và thay tọa độ của điểm $M_0$ vào phương trình của $( \alpha)$ để kiểm tra , ta có các trường hợp sau:

$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0 \\ M_{0}\notin (\alpha) \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $d$ song song với $( \alpha)$ .

$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0 \\ M_{0} \in (\alpha) \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $d$ nằm trong $( \alpha)$ .

$\overrightarrow n.\overrightarrow a\ne 0$ $d$ cắt $(\alpha)$ .

$\overrightarrow n=k\overrightarrow a$ $\Leftrightarrow$ $d$ vuông góc với $(\alpha)$ .

Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ : $\left\{ \begin{array}{l} x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2t \\ z=z_0+a_3t \end{array} \right.$

Sau đó thay $x,y,z$ ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng $( \alpha)$ : $Ax+By+Cz+D=0$ ta được:

$A(x_0+a_1 t)+B(y_0+a_2t)+C(z_0+a_3t)+D=0$ hay $mt+n=0$ (1)

Xét số nghiệm $t$ của phương trình (1) ta có các trường hợp sau.

$(1)$ vô nghiệm $\Leftrightarrow$ $d$ song song với $( \alpha)$ .

$(1)$ có mộy nghiệm $t=t_0$ $\Leftrightarrow$ $d$ cắt $( \alpha)$ tại điểm $M_0(x_0+a_1 t;y_0+a_2t;z_0+a_3t)$

$(1)$ có vô số nghiệm $\Leftrightarrow$ $d$ nằm trong $( \alpha)$ .

$(1)$ $(A;B;C)=k(a_1;a_2;a_3)$ $\Leftrightarrow$ $d$ vuông góc với $( \alpha)$ .

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-5}{1}$ với mặt phẳng $( \alpha)$ : $x-y+2z+5=0$

Lời giải:

Chuyển phương trình chính tắc của $\Delta$ về phương trình tham số

$\Delta$ : $\left\{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=-2+3t \\ x=5+t \end{array} \right.$

Sau đó thay $x,y,z$ ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng $( \alpha)$ : $1+2t-(-2+3t)+2(5+t)+5=0$ $(1)$

$\Leftrightarrow$ $t=-18$

Phương trình $(1)$ có một nghiệm $t=-18$ , vậy $\Delta$ cắt $( \alpha)$ tại điểm $M_0(-35;-56;-13)$

Dạng 4: Tìm hình chiếu

Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A$ trên đường thẳng $(d)$ .

Phương pháp:

Cách 1: $(d)$ cho bởi phương trình tham số

$H \in (d)$ suy ra dạng tọa độ của điểm $H$ phụ thuộcvào tham số $t$

Tìm tham số $t$ nhờ điều kiện $\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow a_{d}$

Cách 2: $(d)$ cho bởi phương trình chính tắc , gọi $H(x;y;z)$

$\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow a_{d}$ (*)

$H \in (d)$ : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được $x;y;z$

Bài toán 2: Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A$ trênặmt phẳng $( \alpha)$ .

Cách 1: Gọi $H(x;y;z)$

$H \in (\alpha)$ (*)

$\overrightarrow {AH}$ cùng phương với $\overrightarrow {n_\alpha}$ : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*) ,từ đó tìm được $x;y;z$ .

Cách 2:

Tìm phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $( \alpha)$ .

Giao điểm của $(d)$ và $( \alpha)$ chính là hình chiếu $H$ của $A$ trên mặt phẳng $( \alpha)$ .

Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc $(\Delta)$ của đường thẳng $(d)$ xuống mặt phẳng $( \alpha)$ .

Tìm phương trình mặt phẳng $(\beta)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông óc với mặt phẳng $( \alpha)$ .

Hình chiếu $(\Delta)$ của $(d)$ xuống mặt phẳng $( \alpha)$ chính là giao tuyến của $( \alpha)$ và $(\beta)$ .

Tags:đường thẳng, mặt phẳng

Các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng xuất hiện khá nhiều trong đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng môn Toán từ trước tới nay.

Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và trong không gian

Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 4: Tìm hình chiếu

Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ trong không gian