12/09/2017

Chứng minh BĐT Nestbit 3 biến bằng phương pháp tăng giảm biến

Toán cấp 3 sưu tầm cách chứng minh bất đẳng thức Nestbit 3 biến bằng phương pháp tăng giảm biến. Nguồn bài viết từ website phudinhgioihan.wordpress.com.

Cách chứng minh BĐT Nestbit:

Cho 3 số thực dương a; b; c khi đó :

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$

Đặt $P(a;b;c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Do P đối xứng theo a;b;c nên ta giả sử c là số nằm giữa a và b ,=> $(a-c)(b-c) \le 0$

Với $t\in \mathbb{R}$ , xét:

$P(a+t;b-t;c)-P(a;b;c)$

$=(a+b+c)(a+b+2c)\frac{t(t+a-b)}{(a+c)(b+c)(a+c+t)(b+c-t)}$

Chọn $t=b-c$ suy ra:

$P(a+t;b-t;c)-P(a;b;c)$

$=(a+b+c)(a+b+2c)\frac{(a-c)(b-c)}{(a+c)(b+c)(a+b)2c} \le 0$

=> $P(a;b;c) \ge P(a+b-c;c;c)=P(a^\prime;c;c) \; ; a^\prime =a+b-c >0$

$\ge \frac{a^\prime}{2c}+\frac{2c}{a^\prime+c}$

$\ge \frac{1}{2}(\frac{a^\prime}{c}+1)+\frac{2}{\frac{a^\prime}{c}+1}-\frac{1}{2}$

$\ge \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c