12/09/2017

Chứng minh BĐT AM-GM 3 số từ BĐT AM-GM 2 số

By toancap3 Bất đẳng thức, Chuyên đề 0 Comments

Có nhiều cách chứng minh BĐT AM-GM 3 số nhưng trong bài viết này Toán cấp 3 giới thiệu với bạn đọc cách chứng minh từ BĐT AM-GM 2 số.

Cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM cho 3 số:

Với 3 số thực không âm a, b, c khi đó ta có: $a^3+b^3+c^3 \ge 3abc$
Khi được học về Bdt AM-GM ở lớp 10, thầy giáo có nói có thể chứng minh AM-GM 4 số từ AM-GM 2 số nhưng không thể dùng AM-GM 2 số để CM cho AM-GM 3 số. Vào thời điểm ấy, tôi cứ băn khoăn mãi…và hôm nay bỗng nhớ về chuyện xưa, suy nghĩ một tí xíu thế là….xem tối ngày ấy và bây giờ khác nhau thế nào nhá ^_^

Có khá nhiều cách CM cơ bản cho AM-GM 3 số, chẳng hạn trong bài viết trước của tôi chẳng hạn.

Có 1 cách CM AM-GM 3 số từ AM-GM 2 số rất hay sau đây:

$a^3+b^3+c^3+abc \ge 2 \sqrt{a^3b^3}+2\sqrt{abc^4}\ge 4 \sqrt{\sqrt{a^3b^3abc^4}} \ge4abc$

<=> $a^3+b^3+c^3 \ge 3abc$

Sau đây chúng ta hãy cùng xem một cách giải khác có lẽ quá dài và rắc rối,phức tạp hơn, nhưng có thể tạo ra nhiều bdt thú vị khác từ cách CM này.

Giải:

Ta có: $a^3+b^3 \ge 2 (\sqrt{ab})^3$
Áp dụng cho các số còn lại và cộng 3 bdt lại ta được:

$a^3+b^3+c^3 \ge \sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{c^3a^3}$

Ta tiếp tục áp dụng bdt mới thu được này:

$a^3+b^3+c^3 \ge \sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{c^3a^3}$

$\ge \sqrt[2^2]{a^6b^3c^3}+\sqrt[2^2]{a^3b^6c^3}+\sqrt[2^2]{a^3b^3c^6}$

$\ge \sqrt[2^3]{a^6b^9c^9}+\sqrt[2^3]{a^9b^6c^9}+\sqrt[2^3]{a^9b^9c^6}$

$\ge \sqrt[2^4]{a^{18}b^{15}c^{15}}+\sqrt[2^4]{a^{15}b^{18}b^{15}}+\sqrt[2^4]{a^{15}b^{15}c^{18}}$

Bằng quy nạp ta có thể chứng mình rẳng:

Với mọi k là số tự nhiên chẵn, $k=2n \; , n \ge 1$

$a^3+b^3+c^3 \ge \sum_{cyc} \sqrt[2^{2n}]{a^{2^{2n}+2}b^{2^{2n}-1}c^{2^{2n}-1}})$

Với mọi số tự nhiên k lẻ, $k=2n+1 \; , n \ge 0$

$a^3+b^3+c^3 \ge \sum_{cyc} \sqrt[2^{2n+1}]{a^{2^{2n+1}-2}b^{2^{2n+1}+1}c^{2^{2n+1}+1}}$

Cho $n \rightarrow + \infty$ ta được:

$a^3+b^3+c^3 \ge abc+abc+abc=3abc$

(Nguồn bài viết: phudinhgioihan.wordpress.com)

Tags:AM-GM, bất đẳng thức AM-GM