Lý thuyết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số là bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp 12. Đây cũng là dạng bài luôn có trong các đề thi tuyển sinh đại học, THPT quốc gia

Tóm tắt lý thuyết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x)

a) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số để thu hẹp phạm vi khảo sát.

b) Bước 2: Xét sự biến thiên :

+ Xét sự biến thiên của hàm số : y=f(x)

– Tìm đạo hàm bậc nhất y’

– Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định

– Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên tổng kết các tất cả các bước trên để hình dung ra hình dáng của đồ thị .

c) Bước 3: vẽ đồ thị (phải thể hiện được các cực trị, tiệm cận, giao điểm của đồ thị với các trục, . . .).

2. Bảng tóm tắt của một số dạng đồ thị thường gặp

3.Chứng minh điểm có tọa độ ([latex]x_0,y_0[/latex]) là tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

– Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Vậy để chứng minh điểm I([latex]x_0,y_0[/latex]) là tâm đối xứng, ta dùng công thức đổi trục[latex]\begin{cases}x=x_0+X\\y=y_0+Y\end{cases}[/latex] để đưa hệ trục tọa độ Oxy về hệ trục IXY (có gốc tọa độ I) và chứng minh rằng trong hệ trục IXY hàm số đã cho có dạng Y=g(X) là hàm số lẻ.

(Chú ý: M(x,y)∈ (C) <=> y=f(x) <=> Y+[latex]y_0[/latex] = f(X+[latex]x_0[/latex]) <=> Y=g(X)

4. Chứng minh đường thẳng Δ: x=[latex]x_0[/latex] là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung là trục đối xứng. Vậy để chứng minh đường thẳng Δ: x=[latex]x_0[/latex] là trục đối xứng, ta dùng công thức đổi trục [latex]\begin{cases}x=x_0+X\\y=Y\end{cases}[/latex] để đưa hệ số Oxy về hệ trục IXY ( là trục tung) và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho có dạng Y=g(X) là hàm số chẵn.

5. Tương giao của các đồ thị

Cho hai đồ thị [latex]C_1[/latex]: y=f(x) và [latex]C_2[/latex]: y=g(x)

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của [latex]C_1[/latex] và [latex]C_2[/latex] là: f(x)=g(x). kí hiệu là phương trình (1)

– Nếu (1) vô nghiệm thì [latex]C_1[/latex] và [latex]C_2[/latex] không có điểm chung (không cắt nhau và không tiếp xúc với nhau).

– Nếu (1) có nghiệm phân biệt thì [latex]C_1[/latex] và [latex]C_2[/latex] giao nhau tại các điểm phân biệt đó. Và nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ các giao điểm.

Chú ý

a) [latex]C_1[/latex] tiếp xúc với [latex]C_2[/latex] <=> hệ [latex]\begin{cases}f(x)=g(x)+X\\f'(x)=g'(x)\end{cases}[/latex] có nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị.

b) Đường thẳng (d): y=mx+n tiếp xúc với parabol y=a[latex]x^2+bx+c[/latex] hệ [latex]\begin{cases}ax^2+bx+c=mx+n\\2ax+b=m\end{cases}[/latex] có nghiệm

<=> phương trình [latex]ax^2+bx+c=mx+n[/latex] có nghiệm kép.

Nguồn: Trường cao đẳng y Dược Pasteur