Cách xác định thiết diện của mặt phẳng và hình chóp

Cách xác định thiết diện của mặt phẳng và hình chóp cần phải hiểu và nắm rõ khái niệm về thiết diện và các định lý cần áp dụng dưới đây.

Hình chóp là một đa diện, vì vậy với bài viết này chúng ta có thể áp dụng để xác định thiết diện của mặt phẳng và đa diện.

1. Khái niệm thiết diện

Các đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng và hình chóp khi nối tiếp nhau sẽ tạo thành một đa giác phẳng, người ta gọi đó là thiết diện (hay mặt cắt) của mặt phẳng với hình chóp đó.

2. Các định lý cần áp dụng để tìm thiết diện của mặt phẳng và hình chóp

Để tìm được thiết diện của mặt phẳng và hình chóp ta dựa vào định nghĩa, tức là tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau bằng cách sử dụng các định lý được ghi dưới đây

– Định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: (a // (Q), a ⊂ (P), (P) ∩ (Q) = b) ⇒ a//b

– Định lý về hai mặt phẳng song song: (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a, (R) ∩ (Q) = b ⇒ a // b

– Định lý về hai mặt phẳng giao nhau: (Q) ∩ (R) = a, (P) // a) và ((Q) ∩ (P) = d, (R) ∩ (P) = d’ ⇒ d//d’

– Định lý về hai mặt phẳng vuông góc: (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R), (P) ∩ (Q) = d ⇒ d ⊥ (R)

– Định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: a ⊄ (P). a ⊥ b, (P) ⊥ b ⇒ a // (P)

Tùy theo tính chất của mặt phẳng (P), chọn một mặt của khối đa diện để vẽ giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt đó. Giao tuyến này còn gọi là giao tuyến gốc (giao tuyến này thường dễ dàng tìm được từ giả thiết).

Xác định giao điểm của giao tuyến đã dựng với các cạnh còn lại của khối đa diện trong các mặt phẳng vừa chọn.

Từ các giao điểm trên, dựa vào tính chất của mặt phẳng (P) để vẽ các giao tuyến với các mặt còn lại.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD). Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (AIJ).

Ví dụ 2. Cho tứ diện A.BCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện A.BCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNI) trong các trường hợp dưới đây:

Ví dụ 3. Cho tứ diện đều A.BCD. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (IJK).

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Mặt phẳng (P) di qua SA và chia đáy hình chóp thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P).

Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. H là trung điểm của trung tuyến BI của tam giác BCD, K là trung điểm của trung tuyến AJ của tam giác ABC. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện với (GHK).