Lý thuyết hàm số
Lý thuyết về hàm số, định nghĩa, đồ thị và sự biến thiên.
Tóm tắt
1. Định nghĩa hàm số
Cho D ∈ R, với D ≠ Φ. Một hàm số xác định trên D là một quy tắc f cho tương ứng mỗi số x ∈ D với một và duy nhất chỉ một số y ∈ R. Ta kí hiệu:
f : D → R
x → y = f(x)
Tập hợp D được gọi là tập xác định (hay miền xác định), x được gọi là biến số (hay đối số), [latex] \displaystyle {{y}_{0}}=f({{x}_{0}}) [/latex] tại [latex]\displaystyle x={{x}_{0}} [/latex]
Một hàm số có thể được cho bằng một công thức, hay bằng biểu đồ, bằng bảng.
Lưu ý rằng, khi cho một hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác định thì ta ngầm hiểu tập xác định D là tập hợp các số x ∈ R mà các phép toán trong công thức có nghĩa.
2. Đồ thị hàm số
Đồ thị của hàm số: y = f(x)
f : D → R
x → y = f(x)
là tập hợp các điểm có tọa độ (x;f(x)) với x ∈ D trên mặt phẳng tọa độ
3. Sự biến thiên của hàm số
Hàm số y = f(x) là đồng biến trên khoảng (a;b) nếu với mọi [latex] \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}} [/latex] ∈ (a;b) mà [latex] \displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}} [/latex] => [latex] \displaystyle f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}}) [/latex] hay [latex] \displaystyle {{x}_{1}}\#{{x}_{2}} [/latex] ta có:
[latex] \displaystyle \frac{{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}}{{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}}>0[/latex]
Hàm số y = f(x) là nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu với mọi [latex] \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}} [/latex] ∈ (a;b) mà [latex] \displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}} [/latex] => [latex] \displaystyle f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}) [/latex] hay [latex] \displaystyle {{x}_{1}}\#{{x}_{2}} [/latex] ta có:
[latex] \displaystyle \frac{{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}}{{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}}<0[/latex]
4. Tính chẵn lẻ của hàm số
Hàm số f: D → R
x → y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu: x ∈ D => -x ∈ D và f(- x)=f(x), là hàm số lẻ nếu x ∈ D => -x ∈ D và f(-x) = -f(x).
Đồ thị của hàm số chẵn có trục tung là trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O của hệ trục tọa độ Oxy làm tâm đối xứng.